一道证明充要条件的题

Question

求证关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0的两个实根均大于1的充要条件是k<-2.

Answer 1

x²+(2k-1)x+k²=0
有两个实根，所以
判别式=(2k-1)^2-4k^2>=0
4-4k>=0
k<=1
两个实根都大于1
所以 把x=1带入的话，
1+2k-1+k^2>0
k(k+2)>0
得 k<-2 或 k>0

与 k<=1 取交集得

k<-2
且方程的对称轴为 x=(1/2)-k>1

所以 k<-2是关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0的两个实根均大于1的必要条件

当k<-2时，判别式=(2k-1)^2-4k^2=4(1-k)>0
所以方程有两个根
又 函数图像的对称轴 x=(1/2)-k>5/2
f(1)=1+2k-1+k^2=k(k+2)>0

所以 k<-2是关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0的两个实根均大于1的充分条件

综上 关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0的两个实根均大于1的充要条件是k<-2.