如何求样本均值的方差和期望？

Question

如题所述

Answer 1

设y1,y2...yn均是服从标准正态分布的，令x=y1^2+y2^2+...yn^2，所以x服从自由度为n的卡方分布。又因为x的均值为1/n(x1+x2+...xn),所以E(x均值)=1/nE(x1+x2+...xn)=E(x)=E(y1^2+y2^2+...yn^2)=nE(y^2)=n.(因为y1...yn的期望为0).同理D(x的均值)=D(x1+x2+...xn)/n^2=D(x)/n又因为D(x)等于nD(y^2),通过标准正态分布的积分运算可以求出D(y^2)=2，所以样本均值的方差为2,期望为n.(说明：E(x1)=E(x2)=...E(xn)=E(x),E(x)为总体。同样E(y^2)也是代表总体因为D(y)=E(y^2)-E(y)^2)
综上：期望为n,方差为2