请问线性代数这题划红线的这一步如何理解？特别是紫色高亮部分。

Question

为赚经验没良心瞎回答的请绕道，谢谢。

Answer 1

红线部分：
由于β1与那三个向量都正交，所以内积都为0，也就是x=β1代入方程组，Ax=0成立，也就是去β1是Ax=0的解。β2类似。

紫色部分：
对于n元齐次线性方程组Ax=0。如果r（A）=n，那么方程组只有零解。而r（A）＜n时，有无穷多解，解空间的维数为n-r（A）。（回想一下你解齐次线性方程组时的过程，4元方程组通过行变换变成3阶阶梯阵的话，就有1个自由基，即基础解系只包含一个）
这里r（A）=3，所以Ax=0的解空间是1维的。而β1和β2同为它的解，组成的向量组的秩是不可能超过这个维数（1）的。

Answer 2

划红线部分的含义是显然的，因为把bj代入方程组
AX=0是适合的，即有Abj=0，所以b1,b2都是方程组AX=0的解。
至于涂为紫色的部分。这是因为给出的向量都是4维向量，所以方程组AX=0是4元齐次线性方程组。又a1,a2,a3线性无关，所以系数矩阵的秩R(A)=3，从而方程组的基础解系中只有一个解向量，故其任意两个解向量都是线性相关的。
所以R(b1,b2)<=1。

Answer 3

你这个题叙述得不太清楚啊，姑且当作是这样的吧：
f是一个二次型，A是相应的对称矩阵，然后求f在单位球面上的最小值。
那么可以这么做：实际上f(x) = x'Ax，于是利用对称阵可对角化，不妨设A = diag{a, b, c}，a>=b>=c。将x按照A的单位正交特征向量为基展开，x = uy1 + vy2 + wy3，则f(x) = au^2 + bv^2 + cw^2 >= c (u^2 + v^2 + w^2) = c，等式成立当且仅当(a - c)u^2 = (b - c)v^2 = 0。整理一下即得所求