设X与Y相互独立分布,其共同概率密度函数为f(x)=x/4*e^(-x^2/8),x>=0;0,x<0;。z1=max{X,Y},z2=min{X,Y}。

Question

分别求Z1，Z2概率密度函数。

Answer 1

f（x）=（x/4）e^（-x²/8），x>0。

F（x）=∫［0，x］（y/4）e^（-y²/8）dy=∫［0，x］e^（-y²/8）d（y²/8）=1-e^（-x²/8），x>0。

z=1，则积分区域0≦x+y≦z对应于0≦x≦1，0≦y≦z-x，此时

F（z）=∫_（0≦x+y≦z）f（x，y）dxdy=∫_（0≦x≦1）dx∫_（0≦y≦z-x）e^1653（-y）dy

=∫_（0≦x≦1）［1-e^（x-z）］dx=1-e^（1-z）+e^（-z）

所以，cdfF（z）=z-1+e^（-z）当0。

随机变量

X的取值只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

Answer 2

见以下两图。

 

以下你会的。

追问

其实我就是求分布函数的时候及份额不会求。。然后分布函数求不对。。

追答

不用分部积分.

f(x) = (x/4)e^(-x²/8), x>0.

F(x) = ∫ [0, x] (y/4)e^(-y²/8) dy = ∫ [0, x] e^(-y²/8) d(y²/8) = 1- e^(-x²/8), x>0

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