如图,E是矩形ABCD的边AD上的一个动点,点F在射线BC上,AB=6,AD=8,设AE=x
如图，E是矩形ABCD的边AD上的一个动点，点F在射线BC上，AB=6，AD=8.设AE=x.
(1)当x为何值时，∠ABE=30°；
(2)当∠BEF=90°时，用x的代数式表示BF；
(3)若BE=EF，设BF=y
①把y关于x的函数解析式，并写出定义域；
②把△ABE沿直线BE翻折，点A落在A1处，问三角形A1BF能否成为等腰三角形？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
图片
(1)在直角△ABE中，tan∠ABE=AE/AB=x/6,因为∠ABE=30度，所以tan∠ABE=√3/3，所以x=(√3/3) * 6 =2√3
(2)过点E作EG⊥BF于G，于是四边形AEGB是矩形，BG=AE=x，EG=AB=6,∠EGF=90度，所以在直角△EFG中，tan∠EFG=EG/GF=6/GF
在直角△BEF中，因为∠BEF=90度，所以
∠EBF+∠EFB=90度，所以∠EFG=90度-∠EBF，而由于∠ABE=∠ABC-∠EBF=90度-∠EBF ,所以得出∠ABE=∠EFG
在直角△ABE中，tan∠ABE=AE/AB=x/6，所以6/GF=x/6，从而得到GF=36/x,于是
BF=BG+GF=x+36/x
(3)
① 仍然过E点做EG⊥BF于G,因为BE=EF，所以△BEF是等腰三角形，BF是底边，根据等腰三角形的性质可知，EG是BF的中线，G是BF的中点，y=BF=2BG
而四边形AEGB必为矩形，所以BG=AE=x，
所以y=2BG=2x
由于F在BC射线上，也就是说F点必为BC延长线上一点，所以BF必大于BC的长度，
于是有y>8,因此2x>8,x>4，另外，x是AD上的动点，所以其本身的取值范围是[0，8],综合以上条件，可得x的取值范围是（4，8]
所以y关于x的解析式为y=2x，定义域为x∈（4,8]
②由于△A1 B E是△ABE沿BE翻折而来，所以可得B A1=BA=6，A1 E=AE=x，
∠E A1 B=90度，下面比较△A1 B F中三条边A1 B，A1 F,BF的长度关系，以此确定△A1 B F是否能成为等腰三角形
如果可以得到三角形三条边的长度均各不相等这个条件，那么，此三角形就不可能成为等腰三角形
由①知，BF=y>8,而B A1=6,所以BF必然不可能等于A1 B；
假设A1 B=A1 F，那么在△A1 B E和△A1 F E中，A1 E为公共边，BE=BF，A1 B=A1 F，三条边均相等，所以两个三角形全等，由此可以得到∠E A1 B=∠E A1 F，由于已经得知∠E A1 B=90度，所以∠E A1 F也为90度，可以由此得到B，A1，F三点共线的结论，那么A1 B F就根本构不成三角形，A1 B=A1 F的假设显然不成立，所以A1 B必然不能等于A1 F；
下面分析是否存在A1点，使BF=A1 F，可根据x的取值范围的分类讨论进行分析
分析图可知，当x∈(4,6)时，A1点落在BF的上方，矩形ABCD的内部；
当x∈(6,8]时，A1落在BF下方，矩形ABCD的下方
当x=6时,此时A1恰好落在BF上，此时三角形A1 B F甚至不能构成，故此种情况可以直接排除
1、当x∈（4，6）时，假设存在A1，使A1 F=BF，那么有A1 F=y=2x,而在直角三角形ABE中利用勾股定理可得BE=√（x^+36）,于是有EF=BE=√（x^+36）,前面已知A1 E=x，那么在△A1 E F中利用已知的三边边长以及余弦定理可得出：
cos∠E A1 F=(A1 E^+A1 F^-EF^)/2*A1 E*A1 F
其中A1 E^+A1 F^-EF^=(2x)^+x^-(x^+36)=4x^-36，由于x>4，所以可以确定上式大于0，从而cos∠E A1 F>0,于是得到∠E A1 F<90度，为锐角
由于A1落在BF上方，由图可得到角的关系为∠E A1 B+∠E A1 F+∠B A1 F=360度，又由于∠E A1 B=90度，所以可以得出∠B A1 F>180度的结论，这显然是不可能的，因此假设的A1 F=BF的条件不成立；于是当x∈（4，6）时，A1 F不可能与BF相等；
2、当x∈（6，8）时，A1落于BF的下方，由图可看出，∠B A1 F显然是由∠B A1 E 与∠E A1 F相加得来的，而∠B A1 E=90度，所以∠B A1 F必然大于90度，所以在△A1 B F中，不可能有A1 F=BF
综上，无论x在定义域内如何取值，都不可能有A1 F=BF
于是，可以得出，△A1 B F的三条边均不可能各自相等，所以它不可能成为等腰三角形
(2)过点E作EG⊥BF于G，于是四边形AEGB是矩形，BG=AE=x，EG=AB=6,∠EGF=90度，所以在直角△EFG中，tan∠EFG=EG/GF=6/GF
在直角△BEF中，因为∠BEF=90度，所以
∠EBF+∠EFB=90度，所以∠EFG=90度-∠EBF，而由于∠ABE=∠ABC-∠EBF=90度-∠EBF ,所以得出∠ABE=∠EFG
在直角△ABE中，tan∠ABE=AE/AB=x/6，所以6/GF=x/6，从而得到GF=36/x,于是
BF=BG+GF=x+36/x
(3)
① 仍然过E点做EG⊥BF于G,因为BE=EF，所以△BEF是等腰三角形，BF是底边，根据等腰三角形的性质可知，EG是BF的中线，G是BF的中点，y=BF=2BG
而四边形AEGB必为矩形，所以BG=AE=x，
所以y=2BG=2x
由于F在BC射线上，也就是说F点必为BC延长线上一点，所以BF必大于BC的长度，
于是有y>8,因此2x>8,x>4，另外，x是AD上的动点，所以其本身的取值范围是[0，8],综合以上条件，可得x的取值范围是（4，8]
所以y关于x的解析式为y=2x，定义域为x∈（4,8]
②由于△A1 B E是△ABE沿BE翻折而来，所以可得B A1=BA=6，A1 E=AE=x，
∠E A1 B=90度，下面比较△A1 B F中三条边A1 B，A1 F,BF的长度关系，以此确定△A1 B F是否能成为等腰三角形
如果可以得到三角形三条边的长度均各不相等这个条件，那么，此三角形就不可能成为等腰三角形
由①知，BF=y>8,而B A1=6,所以BF必然不可能等于A1 B；
假设A1 B=A1 F，那么在△A1 B E和△A1 F E中，A1 E为公共边，BE=BF，A1 B=A1 F，三条边均相等，所以两个三角形全等，由此可以得到∠E A1 B=∠E A1 F，由于已经得知∠E A1 B=90度，所以∠E A1 F也为90度，可以由此得到B，A1，F三点共线的结论，那么A1 B F就根本构不成三角形，A1 B=A1 F的假设显然不成立，所以A1 B必然不能等于A1 F；
下面分析是否存在A1点，使BF=A1 F，可根据x的取值范围的分类讨论进行分析
分析图可知，当x∈(4,6)时，A1点落在BF的上方，矩形ABCD的内部；
当x∈(6,8]时，A1落在BF下方，矩形ABCD的下方
当x=6时,此时A1恰好落在BF上，此时三角形A1 B F甚至不能构成，故此种情况可以直接排除
1、当x∈（4，6）时，假设存在A1，使A1 F=BF，那么有A1 F=y=2x,而在直角三角形ABE中利用勾股定理可得BE=√（x^+36）,于是有EF=BE=√（x^+36）,前面已知A1 E=x，那么在△A1 E F中利用已知的三边边长以及余弦定理可得出：
cos∠E A1 F=(A1 E^+A1 F^-EF^)/2*A1 E*A1 F
其中A1 E^+A1 F^-EF^=(2x)^+x^-(x^+36)=4x^-36，由于x>4，所以可以确定上式大于0，从而cos∠E A1 F>0,于是得到∠E A1 F<90度，为锐角
由于A1落在BF上方，由图可得到角的关系为∠E A1 B+∠E A1 F+∠B A1 F=360度，又由于∠E A1 B=90度，所以可以得出∠B A1 F>180度的结论，这显然是不可能的，因此假设的A1 F=BF的条件不成立；于是当x∈（4，6）时，A1 F不可能与BF相等；
2、当x∈（6，8）时，A1落于BF的下方，由图可看出，∠B A1 F显然是由∠B A1 E 与∠E A1 F相加得来的，而∠B A1 E=90度，所以∠B A1 F必然大于90度，所以在△A1 B F中，不可能有A1 F=BF
综上，无论x在定义域内如何取值，都不可能有A1 F=BF
于是，可以得出，△A1 B F的三条边均不可能各自相等，所以它不可能成为等腰三角形
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第1个回答 2009-12-21
(1)AE=AB*sin∠ABE=6*1/2=3
(2)由于∠BEF=90°，则∠ABE=∠BFE
则 AE/BE=BE/BF，得BE^2=AE*BF
而在三角形ABE中BE^2=AE*AB=6x^2
综合上试可得AE*BF=x*BF=6x^2
BF=6x
(3)①画BF的中点G，并连接EG，由于BE=EF，则EG垂直于BF
EG平行并等于AB，即EG=6
（1/2BF)^2+EG^2=BE^2
BE^2=AE*AB=6x^2
综合得y=4*[根号下（6x^2-36）]（x的定义域0<=x<=8）
②
(2)由于∠BEF=90°，则∠ABE=∠BFE
则 AE/BE=BE/BF，得BE^2=AE*BF
而在三角形ABE中BE^2=AE*AB=6x^2
综合上试可得AE*BF=x*BF=6x^2
BF=6x
(3)①画BF的中点G，并连接EG，由于BE=EF，则EG垂直于BF
EG平行并等于AB，即EG=6
（1/2BF)^2+EG^2=BE^2
BE^2=AE*AB=6x^2
综合得y=4*[根号下（6x^2-36）]（x的定义域0<=x<=8）
②
第2个回答 2009-12-21
(1)
在RT三角形ABE中,tg(∠ABE)=AE/AB
所以x=AE=AB*tg(∠ABE)=6*tg(30°)=2√3
(2)
∠ABE+∠EBF=90,∠EBF+∠F=90
所以∠F=∠ABE
RT三角形ABE中,BE=√(AB^2 +AE^2)=√(36+x^2)
sin∠ABE=sin∠F=AE/BE=BE/BF
所以BE^2=AE*BF
36+x^2=x*BF
BF=x + 36/x
(3)①
E是矩形ABCD的边AD上的一个动点,点F在射线BC上,
要使BE=BF,且F在BC延长线上,则E点要过AD中点才能满足,当E为AD中点时,F和C重合
所以有AE=x>AD/2,即x>4
此时,过E做BF的垂线,垂足为G,则G为BF中点
BG=AE=BF/2,BF=2AE
即y=2x,(8≥x>4)
(3)②
要使三角形A1BF成为等腰三角形
则A1点必定在直线EG上
过A做BE的垂线AH,交EG(或其延长线)于M点,M点即为所求A1点
则H为AM中点,且AH⊥BE,AM平分∠BAD
即有AB=AE=EM=6=x,此时M点和G点重合
换句话说,要使三角形A1BF成为等腰三角形,则A1点在BF上,B,A1.F三点一直线,组不成三角形
所以把△ABE沿直线BE翻折，点A落在A1处，三角形A1BF不能成为等腰三角形
得证
在RT三角形ABE中,tg(∠ABE)=AE/AB
所以x=AE=AB*tg(∠ABE)=6*tg(30°)=2√3
(2)
∠ABE+∠EBF=90,∠EBF+∠F=90
所以∠F=∠ABE
RT三角形ABE中,BE=√(AB^2 +AE^2)=√(36+x^2)
sin∠ABE=sin∠F=AE/BE=BE/BF
所以BE^2=AE*BF
36+x^2=x*BF
BF=x + 36/x
(3)①
E是矩形ABCD的边AD上的一个动点,点F在射线BC上,
要使BE=BF,且F在BC延长线上,则E点要过AD中点才能满足,当E为AD中点时,F和C重合
所以有AE=x>AD/2,即x>4
此时,过E做BF的垂线,垂足为G,则G为BF中点
BG=AE=BF/2,BF=2AE
即y=2x,(8≥x>4)
(3)②
要使三角形A1BF成为等腰三角形
则A1点必定在直线EG上
过A做BE的垂线AH,交EG(或其延长线)于M点,M点即为所求A1点
则H为AM中点,且AH⊥BE,AM平分∠BAD
即有AB=AE=EM=6=x,此时M点和G点重合
换句话说,要使三角形A1BF成为等腰三角形,则A1点在BF上,B,A1.F三点一直线,组不成三角形
所以把△ABE沿直线BE翻折，点A落在A1处，三角形A1BF不能成为等腰三角形
得证
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