二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问 y’’+py’+qy=0 书上说的是设y=e^rx为

Question

二阶常系数齐次线性微分方程求解推导过程的疑问
y’’+py’+qy=0
书上说的是设y=e^rx为上述方程的解，但是为什么解的形式一定是这样的？怎么证明没有其它的函数满足上述微分方程？
我脑子都被弄糊涂了，该方程一定就只有1个通解么？为什么不能是其它函数y1(x)满足该方程，得到另一种格式的特解？然后求出另一种通解。
这个疑问来源于前面的微分方程解都是由积分得到通解的，而这个方程却是由找函数找出解的形式的，怎样保证其格式的唯一性呢？

Answer 1

书本上这样写，是有其道理和前铺的，前面介绍了大量解的结构，然后给出
e^rx
这样形式的解，发现r与一元二次方程的根有关。

其实，针对y”+py‘+qy＝0
的求解问题，我上个世纪发表过一篇小论文，可以用降阶法进行计算，其中
p^2-4q＞0
的情形非常简单。

通解确实与书上一致的。追答

二十年教学经验，专业值得信赖！
如果你认可我的回答，敬请及时采纳，在右上角点击“评价”，然后就可以选择“满意，问题已经完美解决”了。

追问

谢谢你的回答，不过不好意思我暂时没时间看，等我吃完饭好好研究一番先哈？~

请问你的论文哪里可以找到？这2部分只说了解题步骤，没具体的思路，我想了解一下前面的思路。就是设第一个方程的原因。

追答

校刊上面的，基本思路就是我写的啦

追问

可是是怎么想到设p=-(入1+入2) q=入1入2的呢？

追答

一元二次方程根和系数的关系）韦达定理）

追问

你好，又有高数问题不懂，能帮我看一下吗