在二阶的常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)中，记特征方程为λ^2+pλ+q=0
若f(x)=Pn(x)*e^(λx),则特解为y*=x^k*Qn(x)*e^(λx)
若f(x)=(A*cosβx+B*sinβx)*e(αx),则特解为y*=x^k*(a1*cosβx+a2*sinβx)*e^(αx)
其中k是特征根λ的重数
现在我的问题是这个重数到底改怎么确定。
我的理解是f(x)中的λ若不是特征方程的解，则k取0;若是特征方程的解，则当delta＞0时k取1，当delta=0时k取1。(也既看f(x)中的λ占了几个特征根)
按照这样的理解，我发现是符合第一种形式的f(x)的，但是第二种就让我头疼了。
在第二种形式下，特征根要求是α±β*i的形式，也就是说原式的特征方程需满足delta＜0。
比如原式的特征方程为λ^2+4=0，解为λ=±2*i ;
若f(x)=2*cos2x ，则对应的α为0，β为2，而0±2*i正好是原特征方程的根。安找我的理解，f(x)中的λ占了特征方程的两个根，固k应该取2，但相关的题中都是取1。这让为我不能理解。
希望我把我的问题表达清楚了，望高手详细讲解，不胜感激!