(1)∵抛物线y=ax
2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
∴
解得
,
∴这条抛物线的解析式为:y=-x
2+x+2.
(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,将B(2,0)、C(0,2)代入得:
![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/bd315c6034a85edfb04396a44a540923dc54756d?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
,解得
,
∴直线BC的解析式为:y=-x+2.
如答图1,连接BC.
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.
设P(x,-x
2+x+2),
过点P作PF∥y轴,交BC于点F,则F(x,-x+2).
∴PF=(-x
2+x+2)-(-x+2)=-x
2+2x.
S
△PBC=S
△PFC+S
△PFB=
PF(x
F-x
C)+
PF(x
B-x
F)=
PF(x
B-x
C)=PF
∴S
△PBC=-x
2+2x=-(x-1)
2+1
∴当x=1时,△PBC面积最大,即四边形ABPC面积最大.此时P(1,2).
∴当点P坐标为(1,2)时,四边形ABPC的面积最大.
(3)存在.
∵∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠AED=90°,
∴∠ACO=∠AED,又∵∠CAO=∠CAO,
![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/9f2f070828381f30502ce62eaa014c086e06f004?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∴△AOC∽△ADE,
∴
=
,即
=
,解得AE=
,
∴E(
,0).
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点D为AC的中点,∴D(-
,1).
可求得直线DE的解析式为:y=-
x+
①.
∵y=-x
2+x+2=-(x-
)
2+
,∴M(
,
).
又A(-1,0),则可求得直线AM的解析式为:y=
x+
②.
∵DE为线段AC的垂直平分线,
∴点A、C关于直线DE对称.
如答图2,连接AM,与DE交于点G,
此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.
联立①②式,可求得交点G的坐标为(-
,
).
∴在直线DE上存在一点G,使△CMG的周长最小,点G的坐标为(-
,
).