设a1,a2分别是属于实对称矩阵A的2个互异特征值的特征向量，则a1的转置*a2=

Question

如题所述

Answer 1

先证明：若a是一个n阶对称矩阵，a,b为n维列向量则
=
（
表示内积）
（如果你学的是高代，那么该命题显然成立，因为对称变换的原因，具体证明，因为内积定义的问题，所以要设空间，有点多，就不用高代的方式证明了。）
如果是线性代数，那么
=(aa)^tb=a^ta^tb=a^tab=
有了上述命题，若b1,b2为a的不同的特征值，且a1,a2分别为其对应的特征向量，那么
b1
=
=
=
=
=b2
因为b1,b2不同，故
=0，即正交。
或者你可以统一一起证明
b1
=b1a1^ta2=(b1a1)^ta2=(aa1)^ta2=a1^taa2=a1^tb2a2=b2a1^ta2=b2
因为b1,b2不同，故
=0，即正交。

Answer 2

a1^Ta2
=
(a1,a2)
是两个向量的内积.
因为属于实对称矩阵的不同的特征值的特征向量正交
所以
a1,a2
的内积为0
即有
a1^Ta2
=
0.