傅里叶变换及其性质

Question

如题所述

Answer 1

对函数x（t）进行如下积分，并记为X（ω）：

地球物理数据处理基础

其中 这称为傅里叶正变换，X（ω）是x（t）的傅里叶变换。利用X（ω）可以重构信号函数x（t），即

地球物理数据处理基础

称为傅里叶反变换。两式组成一个傅里叶变换对。若t代表空间坐标变量，则ω就代表空间频率域的频率变量，因此称X（ω）为x（t）的频谱函数。

傅里叶变换的性质：设f（x），g（x）的傅里叶变换分别是F（ξ），G（ξ），那么

（1）线性 af（x）＋bg（x）的傅里叶变换是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常数）；

（2）褶积（或卷积）f（x）*g（x）＝∫^∞_－∞f（u）g（x－u）du的傅里叶变换是F（ξ）·G（ξ）；

（3）翻转 f（－x）的傅里叶变换是F（－ξ）；

（4）共轭 的傅里叶变换是

（5）时移（延迟） f（x－x₀）的傅里叶变换是e^ix0ξF（ξ）；

（6）频移（调频） F（ξ－ξ₀）是f（x）e^－iξ0x的傅里叶变换（ξ₀是常数）。

上面的定义都是连续型傅里叶变换，然而在地球物理实际计算中都是离散型数据，因此我们感兴趣的是数据是离散的情况，需要将上述傅里叶变换化为有限离散傅里叶变换对：

地球物理数据处理基础

其中N是数据点数。两个公式除了系数和指数的符号不同外，结构基本相同，式（8－3）为离散傅里叶变换（DFT），式（8－4）为离散傅里叶反变换（IDFT）。