我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明，教科书上很容易找到。我会换一种方式，用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。
1.线性性
设F[f（t）]=F（ω），F[g（t）]=G（ω）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega），α，β\alpha，\beta\alpha，\beta为常数，则
F[αf（t）+βg（t）]=αF（ω）+βG（ω）F−1[αF（ω）+βG（ω）]=αf（t）+βg（t）\mathscr F[\alpha f（t）+\beta g（t）]=\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）\\\mathscr F^{-1}[\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）]=\alpha f（t）+\beta g（t）\\\mathscr F[\alpha f（t）+\beta g（t）]=\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）\\\mathscr F^{-1}[\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）]=\alpha f（t）+\beta g（t）\\
傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。
2.位移性
设\mathscr F[f（t）]=F（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），t_0，\omega_0t_0，\omega_0为常数，则
\mathscr F[f（t-t_0）]=e^{-i\omega t_0}F（\omega）\\\mathscr F^{-1}[F（\omega-\omega_0）]=e^{i\omega_0t}f（t）\\\mathscr F[f（t-t_0）]=e^{-i\omega t_0}F（\omega）\\\mathscr F^{-1}[F（\omega-\omega_0）]=e^{i\omega_0t}f（t）\\
把时域的函数向右平移了t_0t_0，相当于时间起点改到了-t_0-t_0，那么频域的相位也要相应地退回。分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}在时刻-t_0-t_0的值e^{-i\omega t_0}e^{-i\omega t_0}的值作为起点，因此F（\omega）F（\omega）乘上了该量。
把频域的函数向右平移了\omega_0\omega_0，相当于把每个分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}相应都改为了e^{i（\omega-\omega_0）t}e^{i（\omega-\omega_0）t}，频率都由\omega\omega减慢到\omega-\omega_0\omega-\omega_0。
那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量e^{i（\omega-\omega_0）t}e^{i（\omega-\omega_0）t}补乘上e^{i\omega_0t}e^{i\omega_0t}，就能还原回原来的频率，因此f（t）f（t）乘上了该量。
3.放缩/相似性
设\mathscr F[f（t）]=F（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），aa为非零常实数，则
\mathscr F[f（at）]=\frac1{|a|}F\left（\frac\omega a\right）\\\mathscr F[f（at）]=\frac1{|a|}F\left（\frac\omega a\right）\\
取f（t）=e^{it}+2e^{2it}f（t）=e^{it}+2e^{2it}，那么F（\omega）=2\pi（\delta（\omega-1）+2\delta（\omega-2））F（\omega）=2\pi（\delta（\omega-1）+2\delta（\omega-2））。
取a=2a=2，则f（at）=e^{2it}+2e^{4it}f（at）=e^{2it}+2e^{4it}，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让\omega\omega除以2，但同时分量的系数也成比例变了。
因为F（\omega）F（\omega）的值表示的是分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}的密度，即该分量的系数是\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega）\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega）。
那么\omega\omega除以aa会让分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}变为e^{ia\omega t}e^{ia\omega t}的同时，其系数也变为了aa倍。因此，最终F\left（\frac\omega a\right）F\left（\frac\omega a\right）要再除以|a||a|以还原系数。
对于上述例子，利用\delta\delta函数的放缩性，易得
\frac12F\left（\frac\omega2\right）=\pi\left（\delta\left（\frac\omega2-1\right）+2\delta\left（\frac\omega2-2\right）\right）\frac12F\left（\frac\omega2\right）=\pi\left（\delta\left（\frac\omega2-1\right）+2\delta\left（\frac\omega2-2\right）\right）
=\pi\left（\delta\left（\frac{\omega-2}2\right）+2\delta\left（\frac{\omega-4}2\right）\right）=\pi\left（\delta\left（\frac{\omega-2}2\right）+2\delta\left（\frac{\omega-4}2\right）\right）
=2\pi（\delta（\omega-2）+2\delta（\omega-4））=2\pi（\delta（\omega-2）+2\delta（\omega-4））
4.对称性
设\mathscr F[f（t）]=F（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），则
\mathscr F[F（t）]=2\pi f（-\omega）\\\mathscr F[F（t）]=2\pi f（-\omega）\\
对圆周运动的典型分量e^{it}e^{it}做两次变换观察一下，如图3所示：
首先对e^{it}e^{it}进行各种频率的反向旋转，\omega\ne1\omega\ne1时平均为0，\omega=1\omega=1时叠加出无穷大，得到2\pi\delta（\omega-1）2\pi\delta（\omega-1），这是第一次变换。再对2\pi\delta（t-1）2\pi\delta（t-1）做第二次变换。
变换的结果是把每个频率的起点都改为2\pi e^{-i\omega}2\pi e^{-i\omega}，最终t\ne1t\ne1时平均为0，t=1t=1时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为2\pi2\pi的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周，时域脉冲对应频域圆周，这构成了对称性。
实际上，函数f（t）f（t）既可以用一系列圆周函数e^{i\omega t}e^{i\omega t}线性表示为f（t）=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F（\omega）e^{i\omega t}d\omegaf（t）=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F（\omega）e^{i\omega t}d\omega。
又可以用一系列冲激函数\delta（x-t）\delta（x-t）线性表示为f（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f（x）\delta（x-t）dxf（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f（x）\delta（x-t）dx，这是两种非常重要的思想。
傅氏变换会把圆周\times2\pi\times2\pi变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有\mathscr F[F（t）]=2\pi f（-\omega）\mathscr F[F（t）]=2\pi f（-\omega）的关系。
5.微分关系
设\mathscr F[f（t）]=F（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），只要相关的导数存在，则
\mathscr F\left[\frac{d^nf（t）}{dt^n}\right]=（i\omega）^nF（\omega）\\\mathscr F^{-1}\left[\frac{d^nF（\omega）}{d\omega^n}\right]=（-it）^nf（t）\\\mathscr F\left[\frac{d^nf（t）}{dt^n}\right]=（i\omega）^nF（\omega）\\\mathscr F^{-1}\left[\frac{d^nF（\omega）}{d\omega^n}\right]=（-it）^nf（t）\\
对于复值函数f（t）f（t），f'（t）f'（t）的含义是复值速度，其中实部表示沿实轴方向的速度，虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对e^{i\omega t}e^{i\omega t}求导会让起点逆时针旋转90^\circ90^\circ并伸缩至\omega\omega倍，但不改变频率，如图5所示：
根据求导公式也容易直接写出e^{i\omega t}e^{i\omega t}对t的n阶导数是（i\omega）^ne^{i\omega t}（i\omega）^ne^{i\omega t}.
因此f（t）f（t）对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}乘上（i\omega）^n（i\omega）^n，即F（\omega）F（\omega）乘上（i\omega）^n（i\omega）^n.
对F（\omega）F（\omega）求导时，考虑将f（t）f（t）分解为冲激函数，且时域的\delta（t-x）\delta（t-x）分量对应频域的e^{-i\omega x}e^{-i\omega x}分量。e^{-i\omega x}e^{-i\omega x}对\omega\omega求n阶导数得到（-ix）^ne^{-i\omega x}（-ix）^ne^{-i\omega x}。
那么f（t）f（t）的每个分量\delta（t-x）\delta（t-x）也只需要简单地乘上（-ix）^n（-ix）^n即可。（-ix）^n\delta（t-x）（-ix）^n\delta（t-x）只会在x=tx=t时影响到整体的值，故求和之后得到的是（-it）^nf（t）（-it）^nf（t）。
6.积分关系
设g'（t）=f（t），\quad\mathscr F[f（t）]=F（\omega）g'（t）=f（t），\quad\mathscr F[f（t）]=F（\omega），则
\mathscr F[g（t）]=\frac1{i\omega}F（\omega）\\\mathscr F[g（t）]=\frac1{i\omega}F（\omega）\\
这与微分关系是一致的，取n=-1n=-1即可。
由于g（t）=\int f（t）dt+Cg（t）=\int f（t）dt+C，这个任意常数+C+C会在频谱中带来一个冲激函数2\pi C\delta（\omega）2\pi C\delta（\omega），而\omega=0\omega=0时\frac1{i\omega}F（\omega）\frac1{i\omega}F（\omega）无意义，因此这个公式不考虑\omega=0\omega=0的情况。
7.帕萨瓦尔（Parseval）定理
设\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega），则
\int_{-\infty}^{+\infty}f（t）\overline{g（t）}dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F（\omega）\overline{G（\omega）}d\omega\\\int_{-\infty}^{+\infty}f（t）\overline{g（t）}dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F（\omega）\overline{G（\omega）}d\omega\\
这个定理充分体现了e^{i\omega t}e^{i\omega t}这些基底在\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}u（t）\overline{v（t）}dt\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}u（t）\overline{v（t）}dt内积下的正交性。
f（t）f（t）中的一个分量e^{i\omega_1t}e^{i\omega_1t}分别乘以\overline{g（t）}\overline{g（t）}中的每一个分量\overline{e^{i\omega t}}\overline{e^{i\omega t}}并对tt做积分。
在\omega_1\ne\omega\omega_1\ne\omega时积分结果为0，在\omega_1=\omega\omega_1=\omega时积分结果为1.也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
f（t）f（t）中分量e^{i\omega t}e^{i\omega t}的系数近似为\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega）\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega），同理\overline{g（t）}\overline{g（t）}中e^{i\omega t}e^{i\omega t}的系数近似为\frac{\Delta\omega}{2\pi}\overline{G（\omega）}\frac{\Delta\omega}{2\pi}\overline{G（\omega）}。
那么两者乘积的e^{i\omega t}e^{i\omega t}的系数即可近似为\left（\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right）^2F（\omega）\overline{G（\omega）}\left（\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right）^2F（\omega）\overline{G（\omega）}.如图6所示：
因为\int_{-T/2}^{T/2}ce^{i\omega t}dt\int_{-T/2}^{T/2}ce^{i\omega t}dt算的是TcTc，那么\int_{-T/2}^{T/2}f（t）\overline{g（t）}dt\int_{-T/2}^{T/2}f（t）\overline{g（t）}dt中 e^{i\omega t}e^{i\omega t}分量算出的是\frac{2\pi}{\Delta\omega}\left（\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right）^2F（\omega）\overline{G（\omega）}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega）\overline{G（\omega）}\frac{2\pi}{\Delta\omega}\left（\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right）^2F（\omega）\overline{G（\omega）}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}F（\omega）\overline{G（\omega）}，最后把所有\omega\omega求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地，若取f（t）=g（t）f（t）=g（t），则可得到
\int_{-\infty}^{+\infty}|f（t）|^2dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F（\omega）|^2d\omega\\\int_{-\infty}^{+\infty}|f（t）|^2dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F（\omega）|^2d\omega\\
8.卷积与卷积定理
8.1卷积
冲激函数的筛选性质\int_{-\infty}^{+\infty}f（x）\delta（t-x）dx=f（t）\int_{-\infty}^{+\infty}f（x）\delta（t-x）dx=f（t）非常重要，我们称这个运算是f（t）f（t）与\delta（t）\delta（t）的卷积。一般地，定义f_1（t）f_1（t）与f_2（t）f_2（t）的卷积（convolution）为
f_1（t）*f_2（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1（\tau）f_2（t-\tau）d\tau\\f_1（t）*f_2（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1（\tau）f_2（t-\tau）d\tau\\
视第二个函数为冲激函数的线性组合，即f_2（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_2（x）\delta（t-x）dxf_2（t）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_2（x）\delta（t-x）dx，那么它的\delta（t-x）\delta（t-x）分量的系数可近似为f_2（x）\Delta xf_2（x）\Delta x。
而f_1（t）f_1（t）与\delta（t-x）\delta（t-x）卷积得到f_1（t-x）f_1（t-x），相当于把f_1（t）f_1（t）向右平移了xx个单位。因此，卷积的含义是：f_1（t）f_1（t）的起点平移到t=xt=x处，就把函数值放缩为原来的f_2（x）\Delta xf_2（x）\Delta x倍。对于任意的xx，把所有这些平移且放缩过的f_1f_1函数叠加的结果。如图7所示：
概括来说，卷积就是f_1f_1的滑动加权和，权重由f_2f_2决定。
同时，如果只考虑f_1f_1的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的f_2f_2，且由f_1f_1控制。也就是说，卷积具有交换律。
8.2时域卷积定理
若\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega），则
\mathscr F[f（t）*g（t）]=F（\omega）G（\omega）\\\mathscr F[f（t）*g（t）]=F（\omega）G（\omega）\\
按照8.1节对卷积的理解，将g（t）g（t）拆成各种\delta（t-x）\delta（t-x）分量，且系数近似为g（x）\Delta xg（x）\Delta x.那么f（t）f（t）对于一个分量的卷积，相当于平移后加权。
根据第2节的位移性，易得频谱函数变为g（x）\Delta x\cdot e^{-i\omega x}F（\omega）g（x）\Delta x\cdot e^{-i\omega x}F（\omega），对xx求和就得到了F（\omega）G（\omega）F（\omega）G（\omega）.
8.3频域卷积定理
若\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega）\mathscr F[f（t）]=F（\omega），\quad\mathscr F[g（t）]=G（\omega），则
\mathscr F[f（t）g（t）]=\frac1{2\pi}F（\omega）*G（\omega）\\\mathscr F[f（t）g（t）]=\frac1{2\pi}F（\omega）*G（\omega）\\
这里我们把G（\omega）G（\omega）拆成各种\delta（\omega-x）\delta（\omega-x）的分量，且系数近似为G（x）\Delta xG（x）\Delta x.那么F（\omega）F（\omega）对于一个分量的卷积，也是平移后加权。
根据第2节的位移性，易得时域函数变为G（x）\Delta x\cdot e^{i\omega x}f（t）G（x）\Delta x\cdot e^{i\omega x}f（t），对xx求和就得到了2\pi f（t）g（t）2\pi f（t）g（t）.