蝴蝶定理最简单证明

Question

如题所述

Answer 1

蝴蝶定理最简单证明如下：

1、M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。

2、圆可以改为任意圆锥曲线。

3、将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

4、去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足。这对1，2均成立。

蝴蝶定理（ButterflyTheorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。 

这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman'sDiary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。

这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（RichardTaylor）给出。

另外一种早期的证明由M.布兰德（MileBrand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J开世在"ASequeltotheFirstSixBooksoftheElementsofEuclid"给出，只有一句话，用的是线束的交比。

“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。