不定积分 ∫e^xsinxdx

Question

如题所述

Answer 1

∫e^xsinxdx=½ e^x[sinx - cosx]+C。（C为积分常数）

解答过程如下：

∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=sinx e^x-∫e^x d(sinx)= sinx e^x-∫e^x cosx dx

对第二项再用一次分部积分法

∫e^x cosx dx=∫cosxd(e^x)=cosx e^x-∫e^x d(cosx)

= cosx e^x+∫e^x sinx dx

代入第一个等式，可得

∫e^x sinx dx=sinx e^x- [cosx e^x+∫e^x sinx dx]

粗体部分移到同一侧，可得

∫e^x sinx dx=½ e^x[sinx - cosx]+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式。

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 2

用分部积分即可，答案是

½ e^x（sinx - cosx）+C

Answer 3

方法：分部积分法 

原式=∫sinxd(e^x)=sinx e^x-∫e^x d(sinx)= sinx e^x-∫e^x cosx dx

对第二项再用一次分部积分法

∫e^x cosx dx=∫cosxd(e^x)=cosx e^x-∫e^x d(cosx)

= cosx e^x+∫e^x sinx dx

代入第一个等式，可得

∫e^x sinx dx=sinx e^x- [cosx e^x+∫e^x sinx dx]

粗体部分移到同一侧，可得

∫e^x sinx dx=½ e^x[sinx - cosx]

注意事项：前后两次函数的选择类型要一致

Answer 4

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Answer 5

解：
令∫e^xcosxdx=A i*∫e^xsinxdx=B
∴A+B=∫e^x(cosx+isinx)dx
即为A+B=∫e^(i+1)xdx
∴A+B=[1/(i+1)]e^(i+1)x+C
又∵虚部为（1/2）e^x(sinx-cosx)
即为所求