5.6 两个总体均值之差的区间估计

Question

如题所述

Answer 1

分为三种情况：独立大样本、独立小样本、配对样本

独立大样本前提下，两个样本均值之差 服从期望值为 ，方差为 的正态分布。

因此，置信水平为1-α的置信区间为  。

当总体的 未知时，使用样本方差 代替，区间变为

2.1 当总体的方差已知

此时估计公式跟大样本时一毛一样

2.2 当总体的方差未知

2.2.1 当两个总体的 方差相等

① 使用两个样本的方差共同估计总体的方差，公式为

② 样本均值之差标准化后服从自由度为 的t分布，标准化的方式为 ~ 

③ 得出 的置信水平为1-α的置信区间为 

2.2.2 当两个总体的 方差不相等

① 样本均值之差标准化后近似服从自由度为v的t分布，v的计算公式为

② 然后 的置信水平为1-α的置信区间为

至于为什么，我也不知道~

先说下什么叫配对样本。假设我们想估计中国人的平均身高和平均体重的差（两个总体均值之差的估计问题）。一种采样方式是，我们随机找了1W个人采集了他们的身高，得到了身高的一个样本，又随机找了1W个（也可以是2W个）人的体重，得到了体重的一个样本。然后我们就可以研究均值之差了。上面这种采样方式，叫独立样本。

另一种方式，我们随机找了1W个人，采集了他们的身高，又采集了他们的体重。这样得到的身高和体重的样本就叫配对样本。

基于配对样本估计总体均值之差时，可以先在微观上作差，然后基于这些差值构成的集合进行估计。描述如下：

① 先得到由差值构成的集合；

② 计算其均值 ;

③ 若已知差值的标准差为 ，则 服从正态分布， 的置信水平为1-α的置信区间为

④ 若差值的标准差未知，则用样本差值的标准差 代替，即

⑤ 上述估计是基于大样本，若是小样本+总体为正态分布的情况，对应的区间为