如何求解一个矩阵的所有特征值？

Question

如题所述

Answer 1

求解过程如下：

（1）由矩阵A的秩求出逆矩阵的秩

（2）根据逆矩阵的求解，得出伴随矩阵表达式

（3）由特征值定义列式求解

扩展资料：

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求n阶矩阵A的特征值的基本方法：

根据定义可改写为关系式

 ， 

 为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ-  ，其余元素乘以-1）。要求向量  具有非零解，即求齐次线性方程组  有非零解的值  。即要求行列式  。

解次行列式获得的 值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的  ，即为输入这个行列式的特征向量。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系。

参考资料：特征值_百度百科

Answer 2

要求解矩阵的所有特征值，可以通过以下步骤：1. 求出矩阵的特征多项式：特征多项式为 $det(A-\\lambda I)$，其中 $A$ 是矩阵，$I$ 是单位矩阵，$\\lambda$ 是待求特征值。2. 将特征多项式化简为 $\\lambda$ 的一次或二次方程组，解出 $\\lambda$ 的值。一般情况下这需要利用一定的数学工具进行计算，例如代数余子式法、Laplace 展开、Jacobi 方法、幂法等。3. 重复步骤 2 直到所有特征值都求出。需要注意的是，有些矩阵可能存在重复的特征值，需要进行分类讨论，例如在求某些矩阵的特征向量时需要使用 Jordan 标准形。另外，在实际计算中，可能需要使用数值计算方法来求解特征值和特征向量。