1. 计算行列式 |A-λE| =
1-λ 2 3
3 1-λ 2
2 3 1-λ
c1+c2+c3
6-λ 2 3
6-λ 1-λ 2
6-λ 3 1-λ
r2-r1,r3-r1
6-λ 2 3
0 -1-λ -1
0 1 -2-λ
= (6-λ)[(1+λ)(2+λ)+1]
= (6-λ)(λ^2+3λ+3)
所以A的特征值为6.
注: λ^2+3λ+3 在实数域无法分解, A的实特征值只有6.
2. 求特征向量
对特征值6, 求出齐次线性方程组 (A-6E)X=0 的基础解系.
A-6E =
-5 2 3
3 -5 2
2 3 -5
r1+r2+r3,r2-r3
0 0 0
1 -8 7
2 3 -5
r3-2r2
0 0 0
1 -8 7
0 19 -19
r3*(1/19),r2+8r3
0 0 0
1 0 -1
0 1 -1
(A-6E)X=0 的基础解系为 (1,1,1)^T.
所以, A的属于特征值6的所有特征向量为 k(1,1,1)^T, k为非零常数。
扩展资料：
特征向量的属性：
谱在相似变换下不变： 矩阵A和P^-1AP有相同的特征值，这对任何方形矩阵A和任何可逆矩阵 P都成立。谱在转置之下也不变：矩阵A和A^T有相同的特征值 。因为有限维空间上的线性变换是双射当且仅当它是单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。
若当分解的一些更多的结果如下：
一个矩阵A相似于对角阵当且仅当对于A的每一个特征值的代数重次等于几何重次。特别地有，一个n×n矩阵如果有n个不同特征值，则总是可以对角化的。矩阵作用的向量空间可以视为其广义特征向量所撑成的不变子空间的直和。
对角线上的每个块对应于该直和的一个子空间。若一个块是对角化的，其不变子空间是一个特征空间。否则它是一个广义特征空间，如上面所定义；因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若当标准型说明它等于所有特征值之和。
类似的有，因为三角矩阵的特征值就是主对角线上的项，其行列式等于等于特征值的乘积。
参考资料来源：百度百科-特征向量