矩阵A乘以A的转置为什么等于A的行列式的平方

Question

如题所述

Answer 1

|AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2

det(AB)=det(A)det(B)(证明起来不那么容易，也算是基本性质之一)

det(A^T)=det(A)(行列式的基本性质)

∴det(A*A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2

因为A*A^T是一个矩阵，而A的行列式的平方是一个数，两者是不相等的。

扩展资料：

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律： 

左分配律： 

右分配律： 

矩阵乘法不满足交换律。

性质：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

参考资料：百度百科——矩阵

参考资料：百度百科——行列式

Answer 2

AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。

矩阵转置的主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

行列式的性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式｜αij|中某行（或列）；行列式则｜αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1,b2,…，bn；另一个是с1，с2,…，сn；其余各行（或列）上的元与｜αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换，其结果等于－A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

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Answer 3

det(AB)=det(A)det(B)(证明起来不那么容易，也算是基本性质之一)
det(A^T)=det(A)(行列式的基本性质)
∴det(A*A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2
你说的是这个意思吧？
实际上你的表述是不正确的，因为A*A^T是一个矩阵，而A的行列式的平方是一个数，两者是不相等的本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

|AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2

det(AB)=det(A)det(B)(证明起来不那么容易，也算是基本性质之一)

det(A^T)=det(A)(行列式的基本性质)

∴det(A*A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2

因为A*A^T是一个矩阵，而A的行列式的平方是一个数，两者是不相等的。

Answer 5

你说的是||A||²吧，这个其实是矩阵的模来的，并不是|det（A）|²
向量的模的平方||x||²=x^(T)x