设f（x,y）是[a,b]上的正值连续函数，D={（x,y）|a<=x<=b,a<=y<=b}试证二重积分f

Question

设f（x,y）是[a,b]上的正值连续函数，D={（x,y）|a<=x<=b,a<=y<=b}试证二重积分f（x）/f（y）dxdy>=（b-a）^2

Answer 1

左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
定积分可随便换积分变量
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
=∫∫(D) f(x)/f(y) dxdy 其中：D为a≤x≤b,a≤y≤b
该积分区域为正方形区域,关于y=x对称,则满足轮换对称性,即：∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
=(1/2)∫∫(D) [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy
由平均值不等式
≥∫∫(D) 1 dxdy 被积函数为1,积分结果是区域面积
=(b-a)²
=右边追问

请问f（x），f（y）与f（x,y）有什么区别吗？