如何证明矩阵正定

如题所述

第1个回答 2017-06-24

一个对称阵A是正定的<=>A的所有顺序主子式全为正<=>A的特征值全为正。一般来说，用顺序主式比较方便。本回答被提问者采纳

第2个回答 2020-12-28

[1]在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

中文名
正定矩阵
外文名
positive definite matrix
别称
正定阵
学科
线性代数
释义
正定二次型的矩阵
快速
导航
性质

等价命题

充要条件

判定的方法

应用
定义
正定矩阵
（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
对称正定矩阵
设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵
设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵[2] 。
性质
正定矩阵有以下性质[1] ：
（1）正定矩阵的行列式恒为正；
（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；
（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
等价命题
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
（1）A是正定矩阵；
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（3）A的一切主子式均为正；
（4）A的特征值均为正；
（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R[3] 。

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