概率论，为什么样本均值的方差为n分之D(X)?

Question

如题所述

Answer 1

分析如图所示：

在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值，公式中的E是期望值expected value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。

离散型随机变量方差计算公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2） - [ E（X）]^2；

对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx。

扩展资料：

方差的性质：

1、设C是常数，则D（C）=0

2、设X是随机变量，C是常数，则有

3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则

其中协方差

特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则

此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

Answer 2

证明如下：

设X为随机变量，X1,X2,...Xi,...,Xn为其n个样本，DX为方差；

根据方差的性质，有D(X+Y)=DX+DY，以及D(kX)=k^2*DX，其中X和Y相互独立，k为常数；

样本均值为ΣXi/n，则样本均值的方差为D(ΣXi/n)；

于是：

D(ΣXi/n)=D(1/nΣXi)=1/(n^2)D(ΣXi)

=1/(n^2)·n·D(X)=D(X)/n)

=1/nD(X）

因此，样本均值的方差为1/nD(X)，此为样本均值的性质之一。

扩展资料：

样本均值的性质：

1、X1,X2,...,Xn是取自总体的样本，则E(Xi)=u，D(Xi)=σ^2，E(Xi)=u，D(Xi)=σ^2；E(X¯)=u，D(X¯)=σ^2/n。

2、样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。

3、设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有N·n 种抽法，即可以组成N·n不同的样本，在不重复抽样时，共有N·n个可能的样本。

本回答被网友采纳

Answer 3

设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在 重置抽样时，共有N·n 种抽法，即可以组成N·n不同的样本，在 不重复抽样时，共有N·n个可能的样本。每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。但现实中不可能将所有的样本都抽取出来，因此，样本均值的 概率分布实际上是一种理论分布。数理统计学的相关定理已经证明：

即样本均值的均值就是总体均值。

在重置抽样时，样本均值的方差为总体方差的1/n，即

在不重置抽样时，样本均值的方差为 (x为平均数)

样本均值的抽样分布：

是所有的样本均值形成的分布，即μ的概率分布。样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。

方差：

是在概率论和统计方差衡量 随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量 随机变量和其 数学期望（即 均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的 平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

本回答被网友采纳