特征值和特征向量有何关系？

Question

如题所述

Answer 1

特征向量是非零向量，它被矩阵对应的线性变换所拉伸的倍数就是特征值。因此，特征向量和特征值是密切相关的，特征值告诉我们特征向量在矩阵对应线性变换中的行为表现。在矩阵中找到特征向量，必须先知道特征值，并且每个特征值都对应或多个特征向量。因此，特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，在很多领域都有广泛的应用。

Answer 2

特征向量是非零向量，它在线性变换下只被缩放而不改变方向。而特征值是这个线性变换作用在特征向量上的标量系数。因此，特征向量和特征值是密切相关的，在线性代数中，我们通常用特征值和特征向量来描述矩阵的性质和操作。换句话说，特征向量和特征值一起描述了矩阵的本质特征和行为。

Answer 3

特征值与特征向量之间关系：
1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。
2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。
4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设
A
是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得
Ax=mx
成立。
扩展资料：
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。
若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
参考资料来源：搜狗百科——特征值
参考资料来源：搜狗百科——特征向量