第1个回答 推荐于2017-11-23
1. 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵，若使用100小时后，雷达失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.2，若两部分失灵与否独立，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。
设事件 A ＝{ 使用100小时后雷达没有失灵 } ,
事件 B ＝{ 使用100小时后计算机未失灵 } ,
则所求概率为
P{A} P{B} = [1 - P{A逆}] [1 - P{B逆}] = (1 - 0.1) (1 - 0.2) = 0.72 .
2.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5、0.6、0.7，求至少有一个人中靶的概率。
设事件A = { 甲射中靶 } , 事件B = { 乙射中靶 }, 事件C = { 丙射中靶 }.
则所求概率为
1 - [1 - P(A)] [1 - P(B)] [1 - P(C)]
= 1 - (1 - 0.5) (1 - 0.6) (1 - 0.7) = 0.94 .
3．设随机变量X的分布函数为
F(x) = 0 , x<1; 1/3 , 1<=x<3; 1/2 , 3<=x<4; 5/6 4<=x<6; 1 , x>=6
求下列概率： P{X>2}及P{|X-1|>4}
P{X > 2} = 1 - P{X <= 2} = 1 - F(2) = 1 - 1/3 = 2/3 .
P{|X - 1| > 4} = P{X < -3 或 X > 5} = P{X < -3} + P{X > 5}
= P{X > 5} = 1 - P{X <= 5} = 1 - F(5) = 1 - 5/6 = 1/6 .
4．设随机变量X的分布函数为
F(x)=0 , x<-5; 1/5 , -5<=x<-2; 3/10 , -2<=x<0 ;1/2 , 0<=x<2; 1 , x>=2.
求下列概率：P{X>-5}及P{|X+1|>2}
P{X > -5} = 1 - P{X <= -5} = 1 - F(-5) = 1 - 1/5 = 4/5 .
P{|X + 1| > 2} = P{X < -3 或 X > 1} = P{X < -3} + P{X > 1}
= P{X < -3} + 0 = P{X <= -3} = F(-3) = 1/5 .
5．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3.又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。
设事件 Ai = { 敌机中 i 弹 } , i = 0 , 1 , 2 , 3 .
事件 B = { 敌机被击落 } ,
则 P(A0) = (1 - 0.3)^3 = 0.343 ,
P(A1) = 3 * 0.3 * (1 - 0.3)^2 = 0.441 ,
P(A2) = 3 * 0.3^3 * (1 - 0.3) = 0.189 ,
P(A3) = 0.3^3 = 0.027 ,
(1) P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3) P(B | A3)
= 0.441 * 0.2 + 0.189 * 0.6 + 0.027 * 1
= 0.0882 + 0.1134 + 0.027 = 0.2286 .
(2) P(A2 | B) = P(A2 B) / P(B) = P(A2) P(B | A2) / P(B)
= 0.1134 / 0.2286 = 63/127 .
6．已知电源电压X服从正态分布N（220,25的二次方），在电源电压处于X<=200V ，200V<X<=240V，X>240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.01、0.2，求（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率。
设事件 A = { 电源电压 X <= 220V },
事件 B = { 电源电压 200V < X <= 240V },
事件 C = { 电源电压 X > 240V },
事件 D = { 电子元件损坏 } .
则 P(A) = F(200) = Φ( (200 - 220) / 25 ) = Φ(-0.8) = 1 - Φ(0.8),
P(B) = F(240) - F(200)
= Φ( (240 - 220)/25 ) - Φ( (200 - 220)/25 )
= Φ(0.8) - Φ(-0.8) = 2 Φ(0.8) - 1 ,
P(C) = 1 - F(240) = 1 - Φ( (240 - 220)/25 ) = 1 - Φ(0.8) .
(1) P(D) = P(A) P(D | A) + P(B) P(D | B) + P(C) P(D | C)
= [1 - Φ(0.8)] * 0.1 + [2 Φ(0.8) - 1] * 0.01
+ [1 - Φ(0.8)] * 0.2
= 0.29 - 0.28 Φ(0.8) .
经查表得 Φ(0.8) ＝ 0.788 ,
所以 P(D) ≈ 0.0642 .
(2) P(B | D) = P(B D) / P(D) = P(B) P(D | B) / P(D)
= [2 Φ(0.8) - 1] * 0.01 / [0.29 - 0.28 Φ(0.8)]
= [2 Φ(0.8) - 1] / [29 - 28 Φ(0.8)]
≈ 0.009
7．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=1,1<=y<=2}上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。
(1) f(x,y) = 1 , 0 <= x <= 1 , 1 <= y <= 2 ; 0 , 其他 .
(注：两行的大括号没打出来，应该看得懂吧！下面有分号“;”的同理。)
(2) fX(x) = ∫(_1)(^2) f(x,y) dy = 1 * 1 = 1 , 0 <= x <= 1 .
(注：∫(_1)(^2)表示积分下限是1上限是2，能看懂吧.)
所以 fX(x) = 1 , 0 <= x <= 1 ; 0 . 其他 .
fY(y) = ∫(_0)(^1) f(x,y) dx = 1 * 1 = 1 , 1 <= y <= 2 .
所以 fY(y) = 1 , 1 <= y <= 2 ; 0 . 其他 .
FX(x) = ∫(_0)(^x) fX(x) dx = x , 0 <= x <= 1 ,
所以 FX(x) = 0 , X < 0 ; x , 0 <= x <= 1 ; 1 , x > 1 .
FY(y) = ∫(_1)(^y) fY(y) dy = y - 1 , 1 <= y <= 2 ,
所以 FY(y) = 0 , Y < 1 ; y - 1 , 1 <= y <= 2 ; 1 , y > 2 .
8．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=2,0<=y<=1} 上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。
(1) f(x,y) = 1/2 , 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 ; 0 , 其他 .
(2) fX(x) = ∫(_0)(^1) f(x,y) dy = (1/2) * 1 = 1/2 , 0 <= x <= 2 .
所以 fX(x) = 1/2 , 0 <= x <= 2 ; 0 . 其他 .
fY(y) = ∫(_0)(^2) f(x,y) dx = (1/2) * 2 = 1 , 0 <= y <= 1 .
所以 fY(y) = 1 , 0 <= y <= 1 ; 0 . 其他 .
FX(x) = ∫(_0)(^x) fX(x) dx = x/2 , 0 <= x <= 2 ,
所以 FX(x) = 0 , X < 0 ; x/2 , 0 <= x <= 2 ; 1 , x > 2 .
FY(y) = ∫(_0)(^y) fY(y) dy = y , 0 <= y <= 1 ,
所以 FY(y) = 0 , Y < 1 ; y , 0 <= y <= 1 ; 1 , y > 1 .本回答被提问者采纳