A为对称矩阵 p1为其特征向量 则与p1正交的向量p2是不是A的特征向量？

Question

如题所述

Answer 1

不一定！
p1为A的特征向量，则存在特征值a1使得Ap1=a1p1
A为对称矩阵，则其对应于一个对称变换T（A是线性变换T对应的矩阵，故Tα=Aα，以下为简便起见，不应用此等式而只用线性变换来讨论），
又知对称变换有如下性质：
(Tα,β)=(α,Tβ)①
则有：(Tp1,p2)=(a1p1,p2)=0=（应用①式）=(p1,Tp2)②
设与p1正交的全部向量构成的空间为V，则由②知，p2和Tp2都在V内。
V为T的不变子空间（进而也是A的不变子空间）。
于是令T限制在V上的变换为T1，可知T1在V内有特征值和特征向量，其中，特征值可能不唯一，当其有两两不相等的特征值b1，b2，...，bs时，对应的特征向量为α11，...，α1r1；...；αs1，...，αsrs（αij为对应于bi的特征向量，j=1，...，si；si为bi的几何重数）。
则p2可以是特征向量组α11，...，α1r1；...；αs1，...，αsrs的线性组合，当组合系数全为1时，Tp2不能简单地用c*p2（c为某个特征向量）表示，那么p2也就不是T的特征向量，于是也不是A的特征向量。
你可以用上述原理自己举反例，举出来告诉我哦~看在我打这么多字的份上。