高数求极限问题

Question

高数求极限问题如图28到33题

Answer 1

　　解：(28)题，分子分母同除以x^2，∴原式=lim(x→∞)(1-sinx/x^2)/(3+2cosx/x^2)=1/3。
　　(29)题，原式=lim(x→+∞)[∑(ak)x^(n-k)/e^(7x)，(k=0,1，……，n)，属“∞/∞”型，用洛必达法则，∴原式=lim(x→+∞)[∑(a0)(n!)/[(7^n)e^(7x)]=0。
　　(30)题，用无穷小量替换。∵x→0时，e^x~1+x+(1/2)x^2，∴原式=lim(x→0)[1+x^2-1-x^2-(1/2)x^4]/(sin2x)^4=(-1/2)lim(x→0)(x^4)/(sin2x)^4=-1/32。
　　(31)题，∵a^x=e^(xlna)，属“∞/∞”型，用洛必达法则，∴原式=lim(x→+∞)[(k!)/(lna)^k)]/e^(xlna)]=0。
　　(32)题，用无穷小量替换。∵x→0时，e^x~1+x，∴(ai)^x=e^(xlnai)~1+xlnai，i=1,2，……，n。
　　∴原式=lim(x→0)[1+∑(lnai)x/n]^(1/x)=e^[∑(lnai)/n]=(∏ai)^(1/n)。
　　(33)题，用无穷小量替换。∵x→0时，ln(1+x)~x，(1+x)^α~1+αx，∴ln(e^x+x)=ln[(e^x)(1+x/e^x)]=x+ln(1+x/e^x)~x+x/e^x，
　　∴原式=lim(x→∞)∵(x^3+x^2+x+1)^(1/3)-[(x^2+x+1)^(1/2)](1+1/e^x)。
　　而(x^3+x^2+x+1)^(1/3)=x(1/x^3+1/x^2+1/x+1)^(1/3)]~x[1+(1/3)(1/x^3+1/x^2+1/x)=x+1/3+(1/3)(1/x+1/x^2)，同理，(x^2+x+1)^(1/2)~x+1/2+1/(2x)，∴原式=1/3-1/2=-1/6。

Answer 2

28上下同时除x^2=1/3追问

其他几题能说一下吗