已知函数f（x）= x 2 +ax-（a+1）lnx（a＜-1），（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值；

Question

已知函数f（x）= x 2 +ax-（a+1）lnx（a＜-1），（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求出f（x）的极值；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，-a]，有|x·f′（x）|≤2a 2 恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=x+a- ， 因为f（x）在x=2处的切线与x轴平行，则f′（2）=0，得a=-3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）= ， 则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 则当x=1时，f（x）有极大值 ， 当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2。 （Ⅲ）令g（x）=x·f′（x）=x 2 +ax-（a+1），x∈[1，-a]， 依题意，x∈[1，-a]时，-2a 2 ≤g（x）≤2a 2 恒成立； 即g（x） min ≥-2a 2 且g（x） max ≤2a 2 ，而g（x）的对称轴为 ， （ⅰ）当 时，即当-2＜a＜-1时， g（x） min =g（1）=0＞-2a 2 成立，g（x） max =g（-a）=-a-1≤2a 2 也成立； 故-2＜a＜-1符合题意； （ⅱ）当 时，即a≤-2时， 由 ，解得 （舍）， g（x） max =g（-a）=-a-1≤2a 2 成立或g（x） max =g（1）=0≤2a 2 也成立，故a≤-2符合题意； 综合（ⅰ）（ⅱ）知a＜-1都符合题意。