已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,n∈N＋

Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,n∈N＋
（1）求数列{na}的通项公式；
（2）设bn=n(an+1)，求数列{nb}的前n项和nS

Answer 1

1）
∵a(n+1)=2an+1

两边同时除以2^(n+1)，得
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2^(n+1)=an/2^n+(1/2)^(n+1)
记cn=an/2^n
则c(n+1)=cn+(1/2)^(n+1)
∴c(n+1)-cn=(1/2)^(n+1)
∴cn-c(n-1)=(1/2)^n
……
c3-c2=(1/2)^3
c2-c1=(1/2)^2
左右全部相加
cn-c1=(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n=1/4*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=1/2*(1-(1/2)^(n-1))=1/2-(1/2)^n
∵c1=a1/2=1/2
∴cn=1/2-(1/2)^n+c1=1-(1/2)^n
∴an=cn*2^n=2^n-1
2）
bn=n(an+1)=n*(2^n-1+1)=n*2^n
……
b3=3*2^3
b2=2*2^2
b1=1*2^1
Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n
2Sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+n*2^(n+1)
Sn=2Sn-Sn=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+2^3+……+2^n)
=n*2^(n+1)-2*(1-2^n)/(1-2)=n*2^(n+1)+2*(1-2^n)=n*2^(n+1)+2-2^(n+1)
=(n-1)*2^(n+1)+2为所求

Answer 2

a1=1,an+1=2an+1
a(n+1)+1=2[an+1]
[a(n+1)+1]/[an+1]=2
an+1=(a1+1)*2^(n-1)=(1+1)*2^(n-1)=2^n
an=2^n
所以，当n=1时，an=1
当n>=2时，an=2^n

Answer 3

an+1=2an+1,是什么意思