当x＞0时，证明不等式e^x＞1+x+(1/2)x^2成立

Question

如题所述

Answer 1

证明：要证不等式e^x＞1+x+(1/2)x^2
可将转化为e^x-[1+x+(1/2)x^2]＞0化简e^x-(1/2)x^2-x-1＞0
构造函数：设f(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1,
f'(x)=e^x-x
因为x＞0， 所以f'(x)=e^x-x＞0
所以，函数f(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1 为增函数，
当x=0时，f(0)=0，
又因为函数f(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1 为增函数
所以f(0)=0为函数(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1 的最小值。
所以，当x＞0时，f(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1＞0
所以，e^x-(1/2)x^2-x-1＞0推出e^x＞1+x+(1/2)x^2成立。

Answer 2

构造函数，设f(x)=e^x-(1/2)x^2-x-1,则f'(x)=e^x-x-1,当x>0时，f'(x)>0,故f(x)为增函数，又f(0)=0,f(x)>f(0)。所以e^x-(1/2)x^2-x-1>0,即e^x>1+x=(1/2)x^2
方法二：e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+.......当x>0时，显然e^x>1+x+(1/2)x^2
问一下，你是高中生吧，若是高中生，建议你采用方法一，方法二你不知道