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证明e^x>1+x
高数
证明e^x
大于等于
1+x
(x大于等于0)
答:
分析
e^x
-1-x ,其导数 = e^x-1,当x=0时,导数=0,x>0时,导数>0,x< 0时,导数< 0 ,所以函数e^x-1-x在x=0时取最小值0,其余均>0.所以e^x>=1+x。本方法不仅
证明
了x>=0时,e^x>=1+x,而且证明了x为全体实数时,e^x>=1+x。
证明
:当x>0时,
e^x>1
十x
答:
设y=f(x)=e^x-(1+x),则 y'=(e^x)-1,当x>0时,y'>0,即f'(x)>0 中值定理,当x>0时,必有ξ:x>ξ>0,使f(x)-f(0)=f'(ξ),而f'(ξ)>0.所以f(x)-f(0)>0,又f(0)=0.故
e^x>1+x
.
ex
≥
1+x
,求
证明
,谢谢!
答:
x>0,则
e^x>1
所以f'(x)>0 所以x>0时,f(x)是增函数 所以x>0 f(x)>f(0)=1-1-0=0 所以e^x-1-x>0 所以x>0,e^x>
x+1x
=0
ex
≥
1+x
所以ex≥1+x
已知x≠0,
证明e^x>1+x
答:
证 设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1 由此可见,当x>0时f'(x)>0,从而f(x)在区间[0,+∞)上单调增加。当x<0时f'(x)<0,从而f(x)在区间(-∞,0]上单调减少 所以,x≠0时都有f(x)>f(0)=0,即 f(x)=e^x-(1+x)>0 (x≠0)所以
e^x>1+x
(...
设
x>
0,
证明e
的x次方
>1+x
答:
解:e^x>
x+
1 设 y1=e^x y2=x+1 从以上两个函数图像来看,当 x>0,y1=e^x 的图像 总位于 y1=x+1 的图像的上方。以上表明:只要 x>0 ,
e^x > 1+x
恒成立。
用拉格朗日中值定理
证明
不等式
e
的x次方
>1+x
(x不等于0)?
答:
设f(t)=e^t,当x>0时,在[0,x]上f(t)满足拉格朗日中值定理条件 於是存在ξ∈(0,x),使f'(ξ)*(x-0)=f(x)-f(0)即e^ξ*x=e^x-1 又因为ξ>0,所以e^ξ>e^0=1 所以e^x-1=e^ξ*x>x,即
e^x>1+x
当x<0时同理可证 ...
数学
证明
题
e
(的x次方)
>1+x
(x≠0) (急,可追加10分)
答:
当x<0时,f(x)=
1+x
-e^x f'(x)=1-
e^x>
0 所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,所以任取x<0得到f(x)<f(0)=0 所以任取x<0,得到1+x-e^x<0,1+x<e^x
如何用中值定理
证明
:当x≠0时,
e^x>1+x
答:
任取x,则在[0,x]或[x,0]上应用拉格朗日中值定理,在0与x之间至少存在一点c,使(e^x-e^0)/(x-0)=f'(c)所以e^x=e^cx+1 当 x>0时,c>0,则e^c
>1
,xe^c>x,因而有
e^x>x+
1 当 x<0时,c<0,则e^c<1,xe^c>x,因而有e^x>x+1 所以当x≠0时,e^x>x+1 ...
已知x≠0,
证明e^x>1+x
答:
令 f(x)=e^x-(1+x),则 f '(x)=e^x-1,所以 当x<0时,f '(x)<0,当x>0时,f '(x)>0,也就是说,f(x)在 (-∞,0)上减,在(0,+∞)上增,因此,函数最小值 min=f(0)=0,所以,当 x≠0 时,f(x)>f(0),即
e^x>1+x
。
证明
不等式x≠0 时
e^x>1+x
答:
设 f(x)=e^x -x-1 则 f'(x)=e^x -1 令 f'(x)=0,得 e^x-1=0,x=0 易得 x>0时,f'(x)>0,f(x)增,x<0时,f'(x)<0,f(x)减 从而 f(x)的最小值为 f(0)=0 故 当 x≠0时,有f(x)>f(0)=0 即
e^x>x+1
...
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