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设n阶矩阵A满足Am=0，m是正整数，证：E-A可逆，且（E-A）=E+A+A2+A3+……Am-1
如题所述
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第1个回答 2012-10-21
利用公式
E=E-A^m=(E-A)(E+A+A^2+A^3+……A^m-1)
可得。本回答被提问者采纳
相似回答
设n阶矩阵A满足A
的m次方等于
0,m是正整数,
证明
E-A可逆,且E-A
的逆矩阵...
答：
证明: 由题设
，n阶矩阵A满足A
^
m=0
(
零矩阵
)，因为(E-A)[
E+A+
A^2+A^3+...+A^(m-
1
)]=E-A^m=E-0=E，又因为[E+A+A^2+A^3+...+A^(m-1)]
(E-A)=E-A
^m=E-0=E，即(E-A)[E+A+A^2+A^3+...+A^(m-1)]=[E+A+A^2+A^3+...+A^(m-1)]
(E-A)=E
...
设n阶矩阵A满足A
^
m=0,m是正整数,证E-A可逆
答：
由A^
m=0
得 (E-A)(
E+A+
A^2+...+A^(m-
1
))=E-A^m=E 同理(E+A+A^2+...+A^(m-1))
(E-A)=E
故E+A+A^2+...+A^(m-1))是E-A的
逆，E-A可逆
。
若
n阶矩阵A满足A
^n
=0,
证明
:E-A可逆,
并求
(E-A)
^(-
1
)
答：
A^n=0 那么
E-A
^n=E,即 (E-A)(E+A+A^2+A^3+…+A^n-1)=E 所以E-A是
可逆
的,且 (E-A)^(-1)= E+A+A^2+A^3+…+A^n-1
设有
正整数m,
使
n阶矩阵A
的m次方=O 求
E+A
的负一次方和
E-A
的负一次方
答：
对于单位
矩阵
E 是满足m次方公式，E-A^m=(E-A) [E+A+A²+……+A^(m-1)] 的 现在A^m=O 那么E=(E-A) [E+A+A²+……+A^(m-1)]于是按照定义，E-A的逆矩阵 就是E+A+A²+……+A^(m-1)
...
满足A
的k次方等于
0(
k
是正整数)
.求证
:E-A可逆,
并且
(E-A)
的-
1
...
答：
由于
(E-A)
(
E+A+
A²+...A的k-1次方)=(E+A+A²+...A的k-1次方)-(A+A²+...A的k次方)（注意抵消规律
）=E-A
的k次方=E-0=E 所以命题成立。
设A是
一个
n
级
矩阵,
并且存在
正整数m,
使得A^
m=0,
求|
E+A
|
答：
因为 A^
m=0,
所以 A的特征值只能是0 所以
E+A
的特征值全是 1+0 = 1 所以 |E+A| = 1.
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