设n阶矩阵A满足A的m次方等于0，m是正整数，证明E-A可逆，且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+....+A^m-1

Question

如题所述

Answer 1

证明: 由题设，n阶矩阵A满足A^m=0(零矩阵)，
因为(E-A)[E+A+A^2+A^3+....+A^(m-1)]=E-A^m=E-0=E，
又因为[E+A+A^2+A^3+....+A^(m-1)](E-A)=E-A^m=E-0=E，
即(E-A)[E+A+A^2+A^3+....+A^(m-1)]=[E+A+A^2+A^3+....+A^(m-1)](E-A)=E，
所以由矩阵可逆定义及逆矩阵定义可知：
E-A可逆，且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+....+A^(m-1).

Answer 2

依题 A^m=0
E^m-A^m=(E-A)[E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1)] =E^m ，且E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1）为n阶非零矩阵。
根据逆矩阵定义，知矩阵 E-A 为可逆矩阵，且 [E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1）]为它的可逆矩阵。