1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋9×10=330 能不能提供一个简便方法的公式？

Question

如题所述

Answer 1

由1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9+9×10
=（1/3）（1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋。。。+8×9×3+9×10×3）
=（1/3）[1×2×3+2×3×（4-1）+3×4×（5-2）＋4×5×（6-3）＋。。。+9×10×（11-8）]
=(1/3)（1×2×3-1×2×3+2×3×4-2×3×4+3×4×5+。。。+9×10×11-8×9×10）
=（1/3）×9×10×11
=330
有一个公式：1×2+2×3+3×4+。。。+n（n+1)
=（1/3）n（n+1)（n+2)
其中n=9时，和=（1/3）×9×10×11=330.

Answer 2

　　少了8×9
　　1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋9×10
　　=1×(1+1)＋2×(2+1)＋3×(3+1)＋4×(4+1)......9×(9+1)
　　=(1^1+2^2+...+9^2)+(1+2+...9)
　　=9(9+1)(2*9+1)/6+45=285+45=330
　　说明：公式1^1+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　虽不太简便，但碰到字母或很大的数字就简便了

Answer 3

先别急于做题，我们找找规律
1X2 + 2X3
= (1/3)[ 1X2X3 + 2X3X(4-1) ]
= (1/3)[ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 ]
= (1/3)[ 2X3X4 ]

多一项
1X2 + 2X3 + 3X4
= (1/3)[ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ]
= (1/3)[ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ]
= (1/3)[ 3X4X5 ]

再加一项
1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5
= (1/3)[ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ]
= (1/3)[ 4X5X6 ]

那么，看出来了吗？
1X2 + 2X3 +…… + n(n+1)
= (1/3)[ 1X2X3 + 2X3X(4-1) +…… + n(n+1)(n+2) ]
= (1/3)[ n(n+1)(n+2) ]
= n(n+1)(n+2)/3

1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +…… + 9X10
= 9 X 10 X 11 / 3
= 3 X 10 X 11
= 330

Answer 4

1×2+2×3+3×4+4×5+......+n(n+1)=?
解：S‹n›=1×2+2×3+3×4+4×5+......+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)
当n=9时，S‹9›=(1/3)×9×10×11=330

Answer 5

2（1+3）+4（3+5）+...=330