已知x+y+z=0 xyz=2 求x的绝对值加y的绝对值加z的绝对值的最小值

Question

已知x+y+z=0 xyz=2 求|x|+|y|+|z|的最小值

Answer 1

解：由题意可得，x、y、z中必定是二负一正，不妨设x>0,y<0,z<0
y+z=-x
两边平方得：y²+z²+2yz=x²
∵yz=2／x
∴y²+z²=x²-4/x
∵y²+z²â‰¥2yz
∴x²-4/x≥4/x
∴x³â‰¥8
x≥2
|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x≥4
∴x|+|y|+|z|的最小值为4，此时x=2，y=z=-1

Answer 2

令|x|+|y|+|z| = t,|x|+|y| = t - |z|.两边平方，得到x^2+y^2+2|xy| = t^2 - 2t|z| + z^2=>(x+y)^2 - 2xy + 2|xy| = t^2 - 2t|z| + z^2.利用已知，把x+y=-z和xy=2/z代入，可以得到4/|z|-4/|z|=t^2-2t|z|。分类讨论(1)若z>0，则得到t^2-2tz=0,t=2z.因为x,y,z有解，利用根与系数关系，知道方程w^2+zw+2/z=0的判别式大于等于0，据此得到z>=2，于是t最小值为4.(2)若z<0，，我们就得到2tz^2+t^2*z+8=0，再次用跟的判别式大于等于0，也能得到t>=4。于是t的最小值是4

Answer 3

e追问

我知道啊，要的是过程，再说x=y=-1,z=2 算的最后结果是4

追答

乱了