高中数学导数题

Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0，若在区间{-1/2,1/2}上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=3ax^2-3x=3x(xa-1）
即x1=0,x2=1/a >0
由图像可知在区间{-1/2,0}上f'(x)>0,f(x)为增函数，
区间{0,1/a}上f'(x)＜0,f(x)为减函数，
区间{1/a,+∞}上f'(x)>0,f(x)为增函数，
要使f(x)>0恒成立
所以f(-1/2)>0，
得a＜5 （a >0）
当1/a ≥1/2时，0＜a≤2，
则f(1/2)>0，a＞-5，
所以当a满足0＜a≤2时f(x)>0成立
当1/a ＜1/2时，a＞2，
则f(1/a)>0，a＞2/√2，
所以当a满足2＜a＜5时f(x)>0成立
综上可得当0＜a＜5时f(x)>0恒成立。

方法应该对，不懂欢迎追问~

Answer 2

先对原函数求导，是一个二次函数，然后画个图讨论一下，就行了

Answer 3

。。。