第2个回答 2012-08-16
先把f(x)进行变化为:f(x)=1+1/(x/3+1/3x),这时观察到x/3+1/3x可以用“算术平均数大于几何平均数不等式”,即x/3+1/3x >= 2*sqrt(x/3+1/3x)=2/3(其中sqrt为开平方) 。所以f(x):MAX(f(x))=1+1/(2/3)=2.5。
用数学软件MATLAB编程检验为:
syms x
f=(x^2+3*x+1)/(x^2+1);
s=diff(f);%一阶导数
s2=diff(f,2);%二阶导数
h=double(solve(s));%一阶导数为零的点可能就是极值点
for i=1:length(h)
if subs(s2,x,h(i))<0
disp(['函数在' num2str(h(i)) '处取得极大值,极大值为' num2str(subs(f,x,h(i)))])
elseif subs(s2,x,h(i))>0
disp(['函数在' num2str(h(i)) '处取得极小值,极小值为' num2str(subs(f,x,h(i)))])
else
disp(['函数在' num2str(h(i)) '处二阶导数也为0,故在该点处函数可能有极大值、极小值或无极值'])
end
end
输出结果为:
函数在1处取得极大值,极大值为2.5;
函数在-1处取得极小值,极小值为-0.5。