如何用极限的定义来证明函数极限的四则运算?

Question

如题所述

Answer 1

求证：当x趋近于x0时，函数f（x）的极限等于A 。

证明：只要证明：对任意小的e>0，存在d>0，当|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e，则证毕！
这里关键是使|f(x)-A|进行适当放大，得到 |f(x)-A|< g(|x-x0|) 然后，令g(|x-x0|)<e，从中解出 |x-x0|<v(e),然后取d=v(e)即可 。

例子：|f(x)-A|<6|x-x0| < e |x-x0|<e/6，取d=e/6 对任意小的e>0，存在d=e/6>0，当|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<6|x-x0| <(6*e/6)=e。

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。