极限的四则运算法则是：
当数列{an},{bn}分别以a,b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b,数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b.当函数f,g分别以a,b为极限时，函数f±b的极限是a±b,函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b.
可见，虽然极限分为函数极限和数列极限，不过它们的四则运算法则是一模一样的。以下就以数列极限为例，来归纳极限的四则运算法则。
为了证明极限的四则运算，我们需要先证明两个引理：
引理：(1)若lim(n->∞)an=a，则lim(n->∞)(-an)=-lim(n->∞)an=-a.
(2)若lim(n->∞)an=a，则a·an≠0；则lim(n->∞)(1/an)=1/a.
证：ε>0，正整数N，使当n>N时，有|an-a|<ε;
(1)又|-an-(-a)|=|an-a|<ε;所以lim(n->∞)(-an)=-lim(n->∞)an=-a.
(2)由保号性定理知，存在k>0，使|an|>k，则有
|1/an-1/a|=|(an-a)/(a·an))<ε/(|a|·k),所以lim(n->∞)(1/an)=1/a.
引理(1)可以说是关于相反数(对应项互为相反的数列)的运算法则；引理(2)则可以说是关于倒数(对应项互为倒数的数列)的运算法则。
接下来开始证明极限的四则运算法则：
定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则
(1)lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;
(2)lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.
若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.
证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，
使当n>N时，有|an-a|<ε;|bn-b|<ε.
(1)则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.
所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;
∵an-bn=an+(-bn)，
所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.
(2)由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.
∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.
∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.
∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.