f(x)=f(2x)且f(x)在x=0处连续,证明f(x)是常值函数

如题所述

第1个回答 2022-05-20

f(x)=f(2x), 所以f(x)=f(2x)=f(4x)=...=f((2^n)x),

如果令y=(2^n)x,则有x=y/(2^n),
则有f(y)=f(y/(2^n))

因为f(x)在x=0处连续,所以limf(x)=f(0)(x→0)
对于任意的y0有f(y0)=f(y0/(2^n)),且n是任意的正整数
所以f(y0)=f(y0/(2^n))=limf(y0/(2^n))(n→+∞)=f(0)
即f(x)=f(0), 结论得证.

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已知f(x)=f(2x) ,求证f(x)是常函数答：此题需要加条件f(x)在x=0连续，否则结论不成立，举反例如下f（x）在有理点取值为1，无理点取值为0.有上述条件下证明很简单。由条件可得对任意的x ，f(x)=f(x/2^n),其中n为正整数，令n趋于无穷，由f(x)在0连续知，右边极限为f(0),所以任意的x有f(x)=f(0),所以为常函数。

设函数f在x=0处连续,对每一个x属于R成立f(x)=f(2x).证明:f是常值...答：因为f在x=0处连续，所以f在x=0处存在极限，不妨设极限为a（a为常数）。那么f(x)=f(2x),得到f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...=f(x/(2^n))。当n趋向无穷大时，有x/(2^n)趋向0,即f(x/(2^n))=a;也就是说f(x)=a,即f是常值函数。得证。

fx在x=0连续并且x∈r有 fx=f2x成立证明常值函数答：因为f(x)在x＝0连续,设f(0)＝C,由题意知f(x)＝f(1/2x)＝f(1/2×1/2x)＝f[(1/2)^2x],以此类推,所以f(x)＝f[(1/2)^nx],当n→+∞,所以1/2^n→0,所以f(x)＝f(0),所以为常数

fx在x=0连续并且x∈r有 fx=f2x成立证明常值函数答：因为f(x)在x＝0连续，设f(0)＝C，由题意知f(x)＝f(1/2x)＝f(1/2×1/2x)＝f[(1/2)^2x]，以此类推，所以f(x)＝f[(1/2)^nx]，当n→+∞，所以1/2^n→0，所以f(x)＝f(0)，所以为常数

两条证明常值函数的题目,在线等。。。答：任取x，由于f（x)=f(nx)，和f(x)是单调函数知道f(x)在【x，nx】区间上是常数。由于n的任意性知道结论成立。任取x，f(x)=f（kx)=f(k^2x)=f(k^3x)=...=f(k^nx)，令n趋向于无穷，取极限知道f(x)=f(0)。由x的任意性知道f(x)是常数函数。

f(x)在x=0处连续什么?答：若函数f(x)在x=0处连续，则(x趋向于零时)，limf(x)=f(0)。此时，若：limf(x)/x(x趋向于零时)存在，必有：f(0)=0。故：(x趋向于零时) lim{[f(x)-f(0)]/(x-0)}=lim{f(x)/x} 即知：f(x)在x=0处可导。

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已知函数f(x)=x²-2x f(x)=2/3x^3,x<=1 f(x)=f(2-x)f(x-2)=x²-2x+3 f(f(x))=x f(x+1)=x²-3x+2 f(x)=ln(x+1)f(x)=3x^2 f(x)=x+1/x