复变函数积分证明题？

Question

如图中3.15

Answer 1

思路：首先由Cauchy积分公式知道∫(e^z)/(z^2)dz＝2pi*i。
其次，将上面的积分中令z＝e^(it)，－pi<=t<=pi，dz＝e^(it)*i*dt，
代入可得2pi*i＝∫(e^z)/(z^2)dz＝i*∫（从－pi到pi）(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt+实部
分离虚部并注意到对称性可得
2pi＝2∫（从0到pi）(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt
然后对∫（从0到pi）(e^cost)sin(sint)sintdt 分部积分
＝－∫（从0到pi）sin(sint)d(e^(cost))
＝∫（从0到pi）(e^cost)cos(sint)costdt
由此可得结论。