两个正态变量的和也服从正态分布吗？

Question

如题所述

Answer 1

是的，两个服从标准正态分布的随机变量的和也服从正态分布。
如果X和Y是独立且服从标准正态分布的随机变量，即X~N(0, 1)和Y~N(0, 1)，那么它们的和Z = X + Y也会服从正态分布。
根据概率论的性质，两个独立随机变量的和的概率分布等于它们各自概率分布的卷积。对于标准正态分布来说，其概率密度函数为f(x) = (1/sqrt(2π)) * exp(-x^2/2)。
因此，我们可以计算Z的概率密度函数为：
g(z) = f(z) * f(y) = (1/sqrt(2π)) * exp(-z^2/2) * (1/sqrt(2π)) * exp(-y^2/2)
化简得到：
g(z) = (1/(2π)) * exp(-(z^2 + y^2)/2)
这就是Z的概率密度函数，显然它也符合正态分布的形式。
所以，两个服从标准正态分布的随机变量的和也服从正态分布，具体来说，服从均值为0，方差为2的正态分布。