双曲函数没有周期性该怎么证明

Question

如题所述

Answer 1

一般来说，正常接触到的双曲函数为双曲正弦函数shx和双曲余弦函数chx。

shx和chx的函数表达式如下：

双曲正弦函数表达式

双曲余弦函数表达式

对于双曲正弦shx，对其求导可得：（shx）' =chx>0对于任意的实数x恒成立，所以shx在R上单调增，对于单调函数来说，必然不可能是周期函数。

对于双曲余弦chx，对其求导可得：（chx）' =shx，令其为0，shx=0解得x=0，chx在（-∞，0）单调减，在（0，+∞）单调增，所以chx有且仅有一个极值ch（0）=1，当然也不可能是周期函数。

综上，双曲正余弦都不是周期函数。

Answer 2

反证法。设双曲函数有周期性，且常数c为其一个周期设法找到一个常数m使f(m+c)≠f(m)