若正整数x,y,满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 希望写清过程 谢谢

Question

如题所述

Answer 1

xy为正实数,则有2x+y>=2根号(2xy)
即:xy-6>=2根号(2xy)
设根号(xy)=t>0,则xy=t^2
t^2-6>=2根号2 t
t^2-2根号2 t-6>=0
(t-3根号2)(t+根号2)>=0
由于t>0,则t+根号2>0
所以有:t-3根号2>=0
即t>=3根号2
所以,xy的最小值是:3根号2 的平方，所以为18. 望采纳

Answer 2

解这道题要用到“两个数的算数平均数不小于两个数的几何平均数”公式。也就是（a+b)/2>=(ab)^1/2（就是a和b的算术平方根）。
解：（2x+y)/2>=[(2x)*y]^1/2(两边乘2得）
：2x+y>=2[(2x)*y]^1/2（两边再加上6得）
2x+y+6>=2[(2x)*y]^1/2+6（把2x+y+6=xy代入得）
xy>=2[(2x)*y]^1/2+6(移项整理得）
xy-2[(2x)*y]^1/2-6>=0,设Z＝（xy）^1/2(xy的算术平方根）得
Z^2-2*2^1/2Z-6>=0
当：Z^2-2*2^1/2Z-6=0时求得Z1=3*2^1/2,Z2＝-2^1/2
二次项系数大于零可知抛线开口向上，得，Z>＝3*2^1/2,Z＝<-2^1/2
即（xy）^1/2>＝3*2^1/2。（xy）^1/2＝<-2^1/2（两个正数的平方根不可能是负数所以舍去）
（两边平方得）：xy>=9*2=18
所以，xy的最小值是18.