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    • 已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

    已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a、b的值；（2）若k∈Z，且k＜f(x)x?1对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m＞1（n，m∈Z）时，证明：（mnn）m＞（nmm）n．

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    推荐答案   推荐于2016-12-01
    解答：（1）解：由f（x）=ax+xln|x+b|=x（a+ln|x+b|）是奇函数，
    则y=a+ln|x+b|为偶函数，∴b=0．
    又x＞0时，f（x）=ax+xlnx，
    ∴f′（x）=a+1+lnx，
    ∵f′（e）=3，
    ∴a=1；
    （2）解：当x＞1时，令g(x)＝
    f(x)
    x?1
    ＝
    x+xlnx
    x?1
    ，
    ∴g′(x)＝
    x?2?lnx
    (x?1)′(x)＝1?
    1
    x
    ＝
    x?1
    x
    ＞0，
    ∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数，
    ∴h′（1）=-1＜0，h′（3）=1-ln3＜0，h′（4）=2-ln4＞0，
    ∴存在x0∈（3，4），使得h′（x0）=0，
    则x∈（1，x0），h′（x）＜0，g′（x）＜0，y=g（x）为减函数．
    x∈（x0，+∞），h′（x）＞0，g′（x）＞0，y=g（x）为增函数．
    ∴g(x)′(x)＝1?
    1
    x
    ＞0    （x＞1），
    ∴g（x）为增函数，
    又g（1）=0，
    ∴g（x）=x-1-lnx＞0，即φ′（x）＞0．
    ∴φ（x）=
    xlnx
    x?1
    在（1，+∞）上为增函数，
    ∵n＞m＞1，
    ∴
    nlnn
    n?1
    ＞
    mlnm
    m?1
    ，
    则（mnn）m＞（nmm）n．
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