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    • 设曲线y=e^-x在点M（t,e^-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形面积为s 求切线的方程和s的最大面积

    如题所述

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    推荐答案   2014-03-03
    y=e^(-x)y'=-e^(-x)
    所以切线方程L为y=-e^(-t)x+e^(-t)+te^(-t)
    与X轴和Y轴分别交于（1+t,0）(0,e^(-t)+te^(-t))
    所以面积s=|1+t||e^(-t)+te^(-t)|/2=e^(-t)*(1+t)^2 /2
    即求f(t)=e^(-t)*(1+t)^2的最大值
    f'(t)=e^(-t)*(2t+2)-e^(-t)(t^2+2t+1)=-e^(-t)(t^2-1)
    所以f(t)在(-无穷,-1)与(1,+无穷)单调减，在(-1,1)单调增
    最大值在1或-无穷处取得
    t=1,f(t)=4/e，S=2/e
    t=-无穷,f(t)=+无穷
    没有限制时，最大值在-无穷时取得
    但此题应有t>0的条件，此时最大值为t=1时，切线方程为y=-x/e+2/e,S=2/e
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