求该函数的幂级数展开式

Question

求 ln(3+x)=ln3+ln(1+x/3) 的幂级数展开式，为什么 -1<x/3≤1

Answer 1

针对你提示的方法：ln(3+x)=ln3+ln(1+x/3)
对ln(1+x/3)求导，再把它展开，之后逐项积分。
解法二：
[ln(3+x)]'=(1/3)/(1+x/3)，
而1/(1+x/3)是首项为1,公比为(-x/3)的等比数列之和
所以1/(1+x/3)=∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
左右同时积分：
∫1/(1+x/3)=∫∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑∫(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...
所以ln(3+x)展开式为：
1/3∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...追问

为什么 -1<x/3≤1

追答

因为：
而1/(1+x/3)是首项为1,公比为(-x/3)的等比数列之和
所以1/(1+x/3)=∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
必须保证: 公比 : -1<(-3/x)<1
否则: Sn=1*(1-(-x/3)^n)/(1+x/3)，含有(-x/3)^n
因为lim (-x/3)^n ≠0

追问

在求ln(1+x)的幂级数展开式时，为什么要求(-1<x<1) ？ ln(1+x)不就是发散的吗？(-1<x<1)不就是收敛的吗？

追答

情况也如同上面的。。
因为你必须保证展开的高阶o(x^n)是无穷小！否则就无法消除掉求和里面的高阶次项。导致里面含有诸如x^n存在