求反正切函数的导数？

Question

如题所述

Answer 1

反正切函数的导数是1/（1+x^2）。

反正切函数定义为：y= atan（x）或y= arctan（x），它是正切函数的反函数。

这意味着，如果y= atan（x），那么x= tan（y）。

为了找到atan（x）的导数，我们可以使用隐函数求导法则。

由y= atan（x），我们得到x= tan（y）。

对两边求导，得到：

1=sec^2（y）×y'

这里，sec^2（y）是正割函数的平方，而y'是我们要求的导数。

解这个方程，我们可以得到y'=1/sec^2（y）。

但因为y= atan（x），我们可以用x来表示y'，得到：

y'=1/（1+x^2）

这就是反正切函数的导数。

计算结果为：y'=1/（x**2+1）

所以，反正切函数的导数是1/（1+x^2）。

导数的作用：

1、在物理学中，导数是描述物体运动速度、加速度等物理量的重要工具。例如，位置函数的导数就是速度函数，速度函数的导数就是加速度函数。

2、在经济学中，导数被用来描述成本、收益、效用等经济量的变化率。例如，成本函数的导数就是边际成本函数，收益函数的导数就是边际收益函数。

3、在工程中，导数也被广泛应用。它可以用来描述各种物理量的变化率，如速度、加速度、电流、电压等。这些物理量的变化率对于工程设计和控制非常重要。

4、在纯数学中，导数也被广泛应用。它是研究函数性质的重要工具，可以帮助我们理解函数的单调性、凹凸性、极值等性质。