方法如下，
请作参考：
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第1个回答 2023-08-02
先求∫(2-x^2)^(3/2)dx
对上式令x=√2sint, t∈(-π/2,π/2)
上式=4∫(cost)^4dt
=∫(1+cos2t)^2dt
=∫dt+∫cos2td(2t)+∫(cos2t)^2dt
=t+sin2t+(1/2)∫(1+cos4t)dt
=t+sin2t+(1/2)∫dt+(1/8)∫cos4td(4t)
=(3t/2)+sin2t+(1/8)sin4t+C=f(t)
当x=0时 t=0，当x=1时 t=π/2
由此可知该定积分在换元后变为无界函数的广义积分（反常积分）
所以，原定积分=lim(ε→0+)∫(0~π/2-ε)f(t)|(π/2-ε~0)=3π/4
对上式令x=√2sint, t∈(-π/2,π/2)
上式=4∫(cost)^4dt
=∫(1+cos2t)^2dt
=∫dt+∫cos2td(2t)+∫(cos2t)^2dt
=t+sin2t+(1/2)∫(1+cos4t)dt
=t+sin2t+(1/2)∫dt+(1/8)∫cos4td(4t)
=(3t/2)+sin2t+(1/8)sin4t+C=f(t)
当x=0时 t=0，当x=1时 t=π/2
由此可知该定积分在换元后变为无界函数的广义积分（反常积分）
所以，原定积分=lim(ε→0+)∫(0~π/2-ε)f(t)|(π/2-ε~0)=3π/4
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