在等比数列{an}中，an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1),a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5

Question

在等比数列{an}中，an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1),a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项，
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当S1/1+S2/2+……+Sn/n最大时，求n的值

Answer 1

很简单啊
解：(1)已知a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项,an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1)
则4=a3*a5且(a1a5+2a3a5+a2a8)/a3*a5=25/4
整理得到(4q^2-1)(q^2-4)=0
得到q=1/2
a3*a5=a1^2*q^6=4
a1=16
则通项式an=16*(1/2)^(n-1)
(2)bn=log2(an)=5-n
前n项和Sn=n(9-n)/2
从而{Sn/n}={(9-n)/2}容易看出是个等差数列
所以
S1/1+S2/2+......+Sn/n
=(-n^2+17n)/4
这是个抛物线的离散型
得到靠近对称轴的两个值n=8，9
依次代入得到n=8,9时候的数值都是18
所以满足最大值的时候的n的数值是8或者9

Answer 2

a3*a5=2^2=4
a1*a5=a3^2
a2a8=a5^2

a1a5+2a3a5+a2a8=25
(a3+a5)^2=25
an＞0(n∈N+)
a3+a5=5
代入a3*a5=2^2=4
因为公比q∈(0,1),
所以a3=4 a5=1
q=1/2
an=16*(1/2)^(n-1)=2^(5-n)