1.(1-x²)^20次方的展开式中,若第4r项和第r+2项的二项式系数相等,则r=?
解：对于（1+a）^n，系数相等的项满足“项数和＝n+2”(展开式中一共有n+1项)
故：4r+ r+2=20+2
故：r=4
2.设m，n为正整数，f(x)=(1-2x) ^m+(1-5x) ^n(此处m n 皆表示次方)中含x 的一次项系数为-16,则含x^项的系数是?
解：(1-2x) ^m中含x 的一次项系数为C[m](1)•（-2）=-2m
(1-5x) ^n中含x 的一次项系数为C[n](1)•（-5）=-5n
故：-2m-5n=-16
又：m、n为正整数，故：n=2,m=3
故：f(x)=(1-2x) ^m+(1-5x) ^n=(1-2x) ³+(1-5x) ²
故：含x^项的系数是C[3](2)•（-2）²＋C[2](2)•（-5）²＝37
3.已知(x²-1/√3X) ^n(n表示次方),中第4项的二项式系数为220,则n=? 展开式中含x三次方的项为?
解：(x²-1/√3X) ^n(n表示次方),中第4项的二项式系数为C[n](3)＝220 故：n=12
故：(x²-1/√3X) ^12展开式中含x三次方的项为C[12](5)• (x²)^5•(-1/√3X) ^7=-88√3x³/9
4.(1-x)+(1-x) ²+...+(1-x) ^10次方的展开式中, x²的系数是?
解：(1-x)+(1-x) ²+...+(1-x) ^10次方的展开式中, x²的系数是：C[2](2)+C[3](2)+C[4](2)+…+ C[10](2)=1+3+6+10+15+21+28+36+45=165
也可以先求和，然后再求x²的系数
5.已知{a/x-√(x/2)} ^9次方的展开式中含x³次方项的系数是9/4,则展开式中第5项的系数为?
解：{a/x-√(x/2)} ^9次方的展开式中含x³次方项是C[9](1)•( a/x)•[-√(x/2))]^8=9ax³/16
故：9a/16=9/4，故：a=4
故：{a/x-√(x/2)} ^9次方的展开式中第5项是C[9](5) •( 4/x) ^5•[-√(x/2))]^4=32256/x³
故：展开式中第5项的系数为32256
6.求多项式(3x4-x3+2x²-3)的8次方•(3x-5)的4次方•(7x4-4x-2)的6次方，展开式中各项系数的和。
解：x=1时，(3x4-x3+2x²-3)的8次方•(3x-5)的4次方•(7x4-4x-2)的6次方的值即为展开式中各项系数的和。即：(3-1+2-3)的8次方•(3-5)的4次方•(7-4-2)的6次方＝16
7、多项式x100次方-x+(-x3次方-2x²+2)的100次方展开式中x的偶次数幂和x的奇数次幂各项系数之和是多少？
解：设x的偶次数幂各项系数之和为a，x的奇数次幂各项系数之和为b
则：x=1时，a+b=1^100-1+(-1^3 -2+2) ^100=1
当x=-1时，a-b=(-1)^100+1+[-(-1)^3 -2+2] ^100=3
故：a=2,b=-1
即：x的偶次数幂各项系数之和为2，x的奇数次幂各项系数之和为－1
8。当n属于正整数时，求证：2≤[1+（1/n ）]^n≤3。
证明：[1+（1/n ）]^n=1+C[n](1)•(1/n)+C[n](2) •(1/n) ^2+ C[n](3) •(1/n) ^3+…+ C[n](n-2) •(1/n) ^(n-2)+ C[n](n-1) •(1/n) ^(n-1)+ C[n](n) •(1/n) ^n
=2+(n-1)/(2n)+(n-1)(n-2)/(6n^2)+….+(n-1)/[2(n-1) ^(n-3)]+1/[n^(n-2)]+ 1/(n ^n)＞2
关于[1+（1/n ）]^n≤3用数学归纳法
9。99^100 -19的末两位数字是？
解：99^100＝（100－1）^100=…. +C[100](2) •(100) ^2-C[100](1) •(100) ^1+C[100](0)
故：99^100 -19的末两位数字与C[100](2) •(100) ^2-C[100](1) •(100) ^1+C[100](0)－19的末两位数字相同，即：82
10。（1+x)+(1+x)^+(1+x)的3次方+...+(1+x)的10次方展开式中所有奇次项系数之和？
参照第七题
11。已知n属于正整数，求证：2的n次方>1+2+3+...+n.
用数学归纳法
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