连通的闭集不一定是闭区域??高等数学！！！

Question

如题所述

Answer 1

连通的闭集不一定是闭区域。教材上说了，闭区域是由开区域加上边界组成的，它的基础是必须存在一个开区域。如果它只是连通的，是闭集，未必会成为闭区域，比如平面集合A={x,y{|x^2+y^2≤1}∪{(x,y)|(x-2)^2+y^2≤1}。它是连通的，两个圆借助于点(1,0)连通。两个圆周内部的部分是开集，两个圆周是边界，所以它是闭集。但是，A不是闭区域，去掉作为边界的两个圆周，剩下的两个圆内部的部分不再连通了，从而不是开区域，所以A不是闭区域。

Answer 2

区域一定是开集，但是开集不一定是区域；例子，R^2平面上两个不相交的开圆，它们是开集但不是连通的。连通集和开集没有任何关联，上面的例子说明，开集可以是不连通的，同时，平面上的闭圆是闭集不是开集，但却是连通的。区域一定是连通集（由定义），但是连通集不一定是区域，就像上面提到的闭圆。闭区域是闭集，就像刚才提到的单独的闭圆就组成了闭区域。但是，注意它的定义，它一定是由区域和它的边界组成的，换句话说，闭区域比原区域多了边界，成为了闭集，这就是它们之间的差异。如果是一个半开半闭的圆，它不是闭区域，也不是开区域，因为它既不是开集也不是闭集。另外，不难推断闭区域是连通的。