证明（cosθ+isinθ）∧n＝cosnθ+isinnθ

Question

如题所述

Answer 1

证：
n=1时，cosθ+isinθ=cosθ+isinθ，等式成立。
假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
则当n=k+1时，
(cosθ+isinθ)^(k+1)
=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)^k
=(cosθ+isinθ)(coskθ+isinkθ)
=coskθcosθ+isinkθcosθ+icoskθsinθ+i²sinkθsinθ
=(coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+coskθsinθ)
=cos(kθ+θ)+isin(kθ+θ)
=cos[(k+1)θ]+isin[(k+1)θ]
等式同样成立。
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
(cosθ+isinθ)ⁿ=cosnθ+isinnθ恒成立。

Answer 2

证明：
（cosθ+isinθ）∧n
＝【exp（iθ）】∧n
＝【exp（inθ）】
＝cosnθ+isinnθ